Geometria plana : triangulos

por Thiago de andrade rangel Ter 12 Dez 2017, 13:39

Num triangulo retangulo ABC as bissetrizes dos angulos agudos B e C cortam se num ponto P, tal que BP=1 sabendo que o angulo ABC=60. Cálcule a medida da hipotenusa desse triângulo
Gab: 1+ V3

por **Elcioschin** Ter 12 Dez 2017, 17:24

P é o centro da circunferência inscrita
Sejam M, N os pontos de tangência sobre AC e BC ---> Trace PM e PN = r

A^BC = 60º ---> A^BP = C^BP = 30º ---> N^BP = 60º ---> N^PB = 60º
A^CB = 30º ---> A^CP = B^CP = 15º

BN = BP.cosA^BP ---> BN = 1.cos30º ---> BN = √3/2

r = PN ---> r = BP.cosN^PB ---> r = 1.(cos60º) ---> r = 1/2

AM = AM = NP = r ---> AN = 1/2

AB = AN + BN --> AB = 1/2 + √3/2 ----> AB = (1 + √3)/2

BC.cosA^BC = AB ---> BC.cos60º = (1 + √3)/2 ---> BC.(1/2) = (1 + √3)/2 ---> BC = 1 + √3