Triângulo retângulo

por **vanderson** Ter 05 Dez 2017, 18:00

Resolva os seguintes problemas:

a) Seja ABC um triângulo retângulo de catetos b e c e altura h relativa à hipotenusa. Prove que (1/h^2)= (1/b^2)+(1/c^2)

b)

por Castiel Ter 05 Dez 2017, 18:53

a)

Seja um triângulo retângulo de catetos b e c, altura h, cujas projeções sobre a hipotenusa são m e n
Temos:
b² = m² + h²
c² = n² + h²

Elevando ambas a -1, temos:

$\frac{1}{b^2} = \frac{1}{m^2+h^2}$

$\frac{1}{c^2} = \frac{1}{n^2+h^2}$

Somando-as, temos:

$\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = \frac{1}{m^2+h^2} + \frac{1}{n^2+h^2}$

Vamos, agora, desenvolver o termo direito:

$\frac{1}{m^2+h^2} + \frac{1}{n^2+h^2} = \frac{h^2+n^2+m^2+h^2}{m^2h^2+m^2n^2+h^4+h^2n^2}$

Como h² = mn, temos m²n² = h^4

$\frac{2h^2+m^2+n^2}{2h^4 +h^2m^2+h^2n^2} = \frac{2h^2+m^2+n^2}{h^2.(2h^2+m^2+n^2)} = \frac{1}{h^2}$

Logo,

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

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b)

Lei dos senos:

$\frac{a}{senA} = \frac{b}{senB} = \frac{c}{senC}$

Basta utilizar algumas das propriedades de razão e proporção. Exemplo:
1/2 = 2/4 = 4/8
(1+2)/(2+4) = 3/6 = 1/2 ---> a razão ainda é a mesma
(4-2)/(8-4) = 2/4 = 1/2 ---> a razão é a mesma

Podemos, então, fazer:

$\frac{a-b}{senA - senB} = \frac{b+c}{senB+senC}$

$\frac{a-b}{b+c} = \frac{senA - senB}{senB+senC}$