unit maceió 2018.1

por Hortencia Lobo Sáb 25 Nov 2017, 00:28

O intervalo de valores da constante k que faz com que o sistema de equações apresentado

tenha, exatamente, duas soluções distintas é

A) 2 < k < 8
B) 20 < k < 80
C) − 8 < k < 36
D) − 12 < k < 48
E) − 14 < k < − 8

por evandronunes Sáb 25 Nov 2017, 11:52

Temos:

$\begin{cases} x^2+y^2-6y=0 \\ x^2+y^2-8x=k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2+(y^2-6y+9)=9 \\ (x^2-8x+16)+y^2=k+16 \end{cases}$

Portanto,

$\begin{cases} x^2+(y-3)^2=9 \\ (x-4)^2+y^2=k+16 \end{cases}$

onde temos uma equação de circunferência com centro em (0, 3) e raio 3 e outra equação de centro (4, 0) e raio \sqrt{k+16}.

A distância entre os centros é \sqrt{4^2+3^2}=5

Para termos duas soluções as circunferências devem ser secantes, e isto ocorrerá se, e somente se o raio da segunda circunferência estiver compreendido entre 2 e 8, veja a figura.

Logo,

2< \sqrt{k+16} <8

4< k+16 <64

-12< k <48

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