Dimensão do subespaço das matrizes
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Dimensão do subespaço das matrizes
por guielia0905 Sex 06 Out 2017, 16:24
Alguém pode me ajudar a fazer esse exercício?
Qual é a dimensão de cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial V = M2(R)?
(a) {A ∈ V | A^t = A}
(b) {A ∈ V | A^t = −A}
(c) {A = [aij] ∈ V | a11 = a22 = 0}
(d) {A = [aij] ∈ V | a21 = a12 = 0}
Qual é a dimensão de cada um dos seguintes subespaços do espaço vetorial V = M2(R)?
(a) {A ∈ V | A^t = A}
(b) {A ∈ V | A^t = −A}
(c) {A = [aij] ∈ V | a11 = a22 = 0}
(d) {A = [aij] ∈ V | a21 = a12 = 0}
guielia0905- Recebeu o sabre de luz
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Re: Dimensão do subespaço das matrizes
por Herowd Sex 06 Out 2017, 21:03
Vou fazer os itens (a) e (c) e vc faz os outros dois.
(a) Seja a matriz A ∈ V de modo que A = ( a b ; c d) com a,b,c e d em ℝ. Segue que A^t = A ⇔ (a b ; c d ) = ( a c ; b d ) ⇔ c = b. Ou seja A = (a b ; b d) = a(1 0 ; 0 0) + b(0 1 ; 1 0) + d(0 0 ; 0 1). Como as matrizes (1 0 ; 0 0), (0 1 ; 1 0) e (0 0 ; 0 1) são linearmente independentes elas formam uma base pro subespaço de V. Logo a dimensão é 3.
(c) Seja a matriz A = (0 b ; c 0). Então A = b(0 1; 0 0) + c(0 0 ; 1 0 ). Com a mesma justificativa do item (a), a dimensão do subespaço é 2.
(a) Seja a matriz A ∈ V de modo que A = ( a b ; c d) com a,b,c e d em ℝ. Segue que A^t = A ⇔ (a b ; c d ) = ( a c ; b d ) ⇔ c = b. Ou seja A = (a b ; b d) = a(1 0 ; 0 0) + b(0 1 ; 1 0) + d(0 0 ; 0 1). Como as matrizes (1 0 ; 0 0), (0 1 ; 1 0) e (0 0 ; 0 1) são linearmente independentes elas formam uma base pro subespaço de V. Logo a dimensão é 3.
(c) Seja a matriz A = (0 b ; c 0). Então A = b(0 1; 0 0) + c(0 0 ; 1 0 ). Com a mesma justificativa do item (a), a dimensão do subespaço é 2.
Herowd- Iniciante
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