Lugar Geométrico

por Augusto ALmeida Dom 17 Set 2017, 10:33

Dada a circunferência λ: x² + y² = 9, obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P do plano tais que as retas conduzidas por P tangenciem λ nos pontos T tais que PT = 4.

GAB:

por **Elcioschin** Dom 17 Set 2017, 10:39

Trace a circunferência, de raio r = 3
Trace a reta y = x e marque o ponto P tal que OP = 5
Trace as duas tangentes PA = PB = 4 e trace OA = OB = 3
PAO e PBO são triângulos retângulos nos vértices A e B

OP² = OA² + PA² --> OP² = 3² + 4² ----> OP = 5

Logo, o lugar geométrico é uma circunferência com centro na origem e raio R = 5 ---> x² + y² = 25

por **Ashitaka** Dom 17 Set 2017, 10:54

Analiticamente:
Seja T(a, b) pertencente a λ e P(x,y).
PT é perpendicular a OT.

(x-a, y-b)(a, b) = 0
ax - a² + yb - b² = 0
ax + by = 9

Ainda,
(x - a)² + (y-b)² = 16
x² + y² - 2(ax + by) + a² + b² = 16
x² + y² - 2*9 + 9 = 16
x² + y² = 25

por Augusto ALmeida Dom 17 Set 2017, 11:07

Ashitaka escreveu:Analiticamente:
Seja T(a, b) pertencente a λ e P(x,y).
PT é perpendicular a OT.

(x-a, y-b)(a, b) = 0
ax - a² + yb - b² = 0
ax + by = 9

Ainda,
(x - a)² + (y-b)² = 16
x² + y² - 2(ax + by) + a² + b² = 16
x² + y² - 2*9 + 9 = 16
x² + y² = 25

Cara, não entendi pq PT ser perpendicular a OT implica nisso: (x-a, y-b)(a, b) = 0. Você está trabalhando com vetores?
Como você chegou a essa conclusão: (x - a)² + (y-b)² = 16?