Binômio de Newton

por claraanaborgesss 1/8/2017, 10:38 am

No desenvolvimento do binômio (x^2 + k/x^4)^9 , o termo independente de x é igual a 672. Então qual será o valor de k?

Obs.:Já tem esse pergunta no fórum,porém está incompleta e com erro na resolução.Quem puder responder,agradeço!!!

por nishio 1/8/2017, 11:14 am

Utilizando a fórmula do termo geral, temos:
$T_{p+1}=\binom{n}{p}.(x)^{n-p}.(a)^p$
$\binom{9}{p}.(x^2)^{9-p}.\left ( \frac{k}{x^4} \right )^p\\ \binom{9}{p}.(x)^{18-2p}.k^p.x^{-4p}\\$
$\binom{9}{p}.(x)^{18-6p}.k^p\\$

Como queremos o termo independente, o expoente de x precisa ser 0, logo 18 - 6p = 0 ---> p = 3

Sabendo que p é igual a 3, podemos igualar ao termo independente, ficando dessa forma:
$\binom{9}{3}.k^3=672\\ \frac{9!}{3!.6!}.k^3=672\\ 84.k^3=672\\$
$k^3=8\\ k = 2$