Triângulo

Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC, como mostra a figura abaixo. Sabendo que BÂC = 120°. Calcular a soma das medidas dos ângulos BPI e PIC, sendo ICB = ABP = 10° 





a) 80° b) 90° c) 100° d) 70° e) 69°

Só consegui resolver porque já tinha visto a solução no livro Problemas sem Problemas Vol.4, de Eduardo Mauro. Não sei se a solução do livro é a mesma que essa, pois a única coisa de que me lembrei da solução do livro foi de que P é ex-incentro de ABI, que é o que mata a questão.



Ângulos:
ABP = PBR = RBC = ECB = 10º
BIF = FIC = FIP = 80º  (FIP é opv de FIC)
EIB = 20º
PEI = 20+10 = 30º
A questão quer saber a soma a (azul) + b (rosa)

 Marcando os ângulos da figura inicial, temos facilmente que a = 30 + b  (a é o ângulo externo do ângulo EIP, que vale 150-b)

Lembrando que AF é uma altura e traçando o segmento BI, temos que os triângulos BIF e CIF são congruentes (BF = FC => altura do triângulo isósceles = mediana = bissetriz). Assim, o ângulo FBI = EBI = ABE = ICB = 10º (ângulos em laranja)

Agora repare que o ponto P é o ex-incentro do triângulo ABI (é o encontro de uma bissetriz interna com uma bissetriz externa).
Qual bissetriz interna? A que divide o ângulo ABI em dois de 10º.
Qual bissetriz externa? A que divide o ângulo externo FÂK em dois de 60º (os dois ângulos em roxo).

Repare no triângulo AIB => o ângulo BÂI vale 60º (altura = mediana = bissetriz), o ABI vale 20º (10+10), logo o AIB vale 180 -(20+60) = 100º

Prolongando o segmento BI até um ponto R, temos que o ponto P (por ser ex-incentro) divide o ângulo AIR em dois ângulos iguais (AIP = PIR). AIR = 80º, pois é o ângulo externo do ângulo AIB = 100º (âng. ext + âng int = 180º). Sendo AIR = 40º, então AIP = 80/2 = 40

Repare no triângulo PEI
Ângulo PÊI = 30º; EIP = 80 + 40 = 120º ; EPI = b
b + 120 + 30 = 180 <..> b = 30º
Como a = 30 + b <..> a = 60º
a + b = 60 + 30 = 90º

Caso tenha dúvida em alguma etapa, só perguntar.