(Vestibular) Sistema

Se os planos de equações 2x-y+z=2, x+y+z=3 e 4x+y+az=b tem em comum os pontos de uma reta, a+b vale:
a) 10
b) 11
c) 12
d)-11
e)-10

Temos:

A interseção dos três planos será uma reta, esta reta contém infinitos pontos e assim o nosso sistema de equações é compatível e indeterminado.

2x-y+z=2
x+y+z=3
4x+y+az=b

a matriz aumentada será:

|2.... -1......1.........2...|
|1.......1......1........3...|
|4.......1......a........b...|

vamos escalonar a matriz:

tocar 1ª linha pela 2ª


|1.......1.....1....3..|
|2......-1....1.....2.|
|4.......1....a.....b.|

multiplicar a 1ª linha por (-2) e somar à 2ª

|1.......1.....1....3..|
|0......-3....-1...- 4|
|4.......1....a.....b..|

multiplicar 1ª linha por (-4) e somar à 3ª

|1.........1........1...............3..|
|0........-3......-1............- 4...|
|0.......-3......(a-4).....(b-12)..|

multiplicar a 2ª linha por (-1) e somar à 3ª

|1.........1........1...............3..|
|0........-3......-1............- 4...|
|0.........0......(a-3)......(b-8 ).|

para que o sistema seja indeterminado devemos ter:

a - 3 = 0 => a = 3
b - 8 = 0 => b = 8
assim:

a + b = 11.