Imagem dA FUNÇÃO

por Cristina Lins Qua 05 Jul 2017, 19:05

Se a e b são números reais não nulos, determine a imagem da função f(x) = a cos + b sen x.

por **Elcioschin** Qua 05 Jul 2017, 21:58

f(x) = a.cosx + b.senx

f(x) = √(a² + b²).[(a/√(a²+ b²)].cosx + √(a² + b²).[(b/√(a²+ b²)].senx

Imagine um triângulo retângulo com catetos a, b ---> √(a² + b²) é a hipotenusa

Então, a/√(a² + b²) = cosθ e b/√(a² + b²) = senθ

f(x) = √(a² + b²).(cosθ.cosx + senθ.senx)

f(x) = √(a² + b²).cos(θ - x)

Qual é a imagem da função cosseno?

por Mathematicien Qua 05 Jul 2017, 23:28

Fantástico!! Como você pensou nisso? Como você percebeu que poderia usar esse artifício de imaginar um triângulo retângulo com catetos a e b?

por **Elcioschin** Qua 05 Jul 2017, 23:46

Esta é uma técnica antiga para resolver equações trigonométricas.
Ela é conhecida como "o truque do triângulo retângulo"

por lidiomarcasteluber Dom 11 Jun 2023, 17:41

Elcioschin escreveu:f(x) = a.cosx + b.senx

f(x) = √(a² + b²).[(a/√(a²+ b²)].cosx + √(a² + b²).[(b/√(a²+ b²)].senx

Imagine um triângulo retângulo com catetos a, b ---> √(a² + b²) é a hipotenusa

Então, a/√(a² + b²) = cosθ e b/√(a² + b²) = senθ

f(x) = √(a² + b²).(cosθ.cosx + senθ.senx)

f(x) = √(a² + b²).cos(θ - x)

Qual é a imagem da função cosseno?

Mas e o caso de a ou b serem negativos? Não há problema em considerá-los catetos de um triângulo retângulo mesmo que eles possam ser negativos?

por **Elcioschin** Dom 11 Jun 2023, 18:15

Os catetos e a hipotensa são apenas segmentos de reta, eles não tem sinal, tem apenas módulos.

O sinal positivo ou negativo vai servir apenas para definir se a função final será seno ou cosseno, da soma ou da diferença de arcos

+ senθ.cosx + cosθ.senx = sen(θ + x)
+ senθ.cosx - cosθ.senx = sen(θ - x)
- senθ.cosx + cosθ.senx = sen(x - θ)
- senθ.cosx cosθ.senx = - sen(x - θ)

cosθ.cosx + senθ.senx = cos(θ - x)
cosθ.cosx - senθ.senx = cos(θ + x)

etc.

por **Elcioschin** Dom 11 Jun 2023, 18:17

Como era uma dúvida frequente, fiz um tópico fixo a respeito, em 2018:

https://pir2.forumeiros.com/t150465-o-truque-do-triangulo-retangulo

por lidiomarcasteluber Dom 11 Jun 2023, 19:14

Elcioschin escreveu:Os catetos e a hipotensa são apenas segmentos de reta, eles não tem sinal, tem apenas módulos.

O sinal positivo ou negativo vai servir apenas para definir se a função final será seno ou cosseno, da soma ou da diferença de arcos

+ senθ.cosx + cosθ.senx = sen(θ + x)
+ senθ.cosx - cosθ.senx = sen(θ - x)
- senθ.cosx + cosθ.senx = sen(x - θ)
- senθ.cosx cosθ.senx = - sen(x - θ)

cosθ.cosx + senθ.senx = cos(θ - x)
cosθ.cosx - senθ.senx = cos(θ + x)

etc.

Obrigado por me responder. No entanto, eu compreendo que se a e b forem catetos de um triângulo eles serão as medidas dos lados de um triângulo e, portanto, necessariamente valores positivos. A questão é que o enunciado diz que a e b são números reais não nulos (positivos ou negativos). Neste caso, não é um problema considerar a e b como catetos de um triângulo retângulo sendo que eles podem assumir valores negativos? Pela resolução apresentada, eu imagino que não seja um problema, mas gostaria de entender o porquê.

por **Elcioschin** Seg 12 Jun 2023, 16:46

Não é um problema.
O fato dos reais a, b poderem ser negativos, não impende que se pegue os módulos de a, b para formar um triângulo retângulo.
Mas, não podemos esquecer que, no final, os sinais de a, b vão servir para dar a reposta correta, conforme alguns exemplos que eu mostrei.