Geometria Analítica- reta e parábola

por Liliana Rodrigues Sex 16 Jun 2017, 12:45

(Esc. Naval) A figura abaixo mostra um ponto P ≠ O, O origem, sobre a parábola y = x² e o ponto Q, interseção da mediatriz do segmento OP com eixo y. A medida que P tende à origem ao longo da parábola, o ponto Q se aproxima do ponto:

Geometria Analítica- reta e parábola Escnav10

a) (0, 0)
b) (0, 1/8 )
c) (0, 1/6)
d) (0, 1/4)
e) (0, 1/2)

por **Elcioschin** Sex 16 Jun 2017, 13:06

Seja P(xP, yP) e M o ponto médio de OP

y = x² ---> Para x = xP ---> yP = xP²

xM = xP/2 ---> yM = yP/2 = xP²/2 ----> M(xP, xP²/2)

Equação da reta OP ---> m = yP/xP = xP²/xP = xP ---> y = (xP).x

Equação da reta PM ---> m' = -1/m ---> m' = - 1/xP

y - yM = m'.(x - xM) ---> y - yP²/2 = (-1/xP).(x - xP/2) --->

y = - x/xP + xP²/2 + 1/2

Quando P se aproxima da origem x = 0, xP = 0 ---> y = 1/2 ---> (0, 1/2)

por LdMath Qui 02 Set 2021, 12:02

Boa Tarde, eu tive o seguinte pensamento.

Sendo M o ponto médio de OP, os triângulos OMQ e PMQ são idênticos, por isso a coordenada Yq , deve ser igual a coordenada Xp, então:

Q(0,k) e P (k,k^2)

Sendo assim, com P tendendo a origem K tende a 0, e consequentemente Q tende á origem igualmente, Q(0,0).

Alguém poderia me dizer qual o erro no meu pensamento?

Obrigado pela atenção.

por **Elcioschin** Qui 02 Set 2021, 12:52

O fato dos triângulos OMQ e PMQ serem idênticos NÃO implica que a ordenada de Q seja igual à abcissa de P

Implica apenas que OQ = PQ e PQ NÃO é abcissa de P, pois P e Q não estão na mesma altura em relação ao eixo x

Veja a figura, para um ponto P', mais próximo de O e os pontos M' e Q':

Geometria Analítica- reta e parábola Pontop10

por **Medeiros** Sáb 04 Set 2021, 20:52

Sendo M o ponto médio de OP, os triângulos OMQ e PMQ são idênticos, por isso a coordenada Yq , deve ser igual a coordenada Xp, então:

Q(0,k) e P (k,k^2)

P e Q têm mesma ordenada apenas quando P=(1, 1).
para xP > 1---> yP > yQ
para xP < 1 ---> yP < yQ

observe que, exceto para P(1, 1), sempre OM = MP ≠ QM.