parábola e reta

por anero1 Ter 01 Nov 2016, 00:15

Dada a parábola y=x^2+x+1 e a reta y=2x+m:

a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola
.
b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola. Determine também o ponto de tangência.

Spoiler:

por **Claudir** Ter 01 Nov 2016, 00:24

a)
$\\\\y=x^2+x+1,\ y=2x+m\\\\x^2+x+1=2x+m\to x^2-x+1-m=0\\\\x=\frac{1\pm \sqrt{4m-3}}{2}\to 4m-3\geq 0\to \boxed{m\geq \frac{3}{4}}$

b) O coeficiente angular da reta deverá ser igual ao coeficiente angular da reta tangente à parábola naquele ponto, ou seja, deverá ser igual à derivada da equação da parábola em tal ponto:

$\\\\m_r=2\\\\\frac{dy}{dx}=2x+1=m_p\\\\m_r=m_p\to 2=2x+1\to x=\frac{1}{2}\\\\y=\left ( \frac{1}{2} \right )^2+\frac{1}{2}+1=\frac{7}{4}\to \boxed{P:\ \left ( \frac{1}{2},\ \frac{7}{4} \right )}\\\\y=2x+m\to m=\frac{7}{4}-2.\frac{1}{2}=\boxed{\frac{3}{4}}$

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