Sobre os lados de um triângulo, provar
2 participantes
Página 1 de 1
Sobre os lados de um triângulo, provar
por Kulo Sex 12 maio 2017, 03:44
Sendo a, b, c os comprimentos dos lados de um triângulo, prove as seguintes relações:
i) a³ + b³ + abc > (a² + b²).c
ii) a³ + b³ + 3abc > c³
OBS: O gabarito da ii diz que tem que fatorar (a³ + b³) e usar que a + b > c duas vezes... Eu sei que (a³ + b³) = (a+b).(a² - ab + b²), mas não sei como utilizar na inequação... O i não tem gabarito.
i) a³ + b³ + abc > (a² + b²).c
ii) a³ + b³ + 3abc > c³
OBS: O gabarito da ii diz que tem que fatorar (a³ + b³) e usar que a + b > c duas vezes... Eu sei que (a³ + b³) = (a+b).(a² - ab + b²), mas não sei como utilizar na inequação... O i não tem gabarito.
Kulo- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 110
Data de inscrição : 18/04/2015
Idade : 29
Localização : Ceará, Brasil
Re: Sobre os lados de um triângulo, provar
por fantecele Sáb 13 maio 2017, 19:20
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Pela desigualdade triangular:
a + b > c
Então:
(a + b)(a² - ab + b²) > c(a² - ab + b²)
a³ + b³ > c(a² - ab + b²)
a³ + b³ > c((a + b)² - 3ab)
a³ + b³ > c.(a + b)² - 3abc
a³ + b³ + 3abc > c(a + b)²
Pela desigualdade triangular:
c(a + b)² > c.(c)²
c(a + b)² > c³
Substituindo na relação acima:
a³ + b³ + 3abc > c³
Para a (i) é apenas distribuir o c e passar o "-abc" para o lado esquerdo.
a³ + b³ > c(a² - ab + b²)
Pela desigualdade triangular:
a + b > c
Então:
(a + b)(a² - ab + b²) > c(a² - ab + b²)
a³ + b³ > c(a² - ab + b²)
a³ + b³ > c((a + b)² - 3ab)
a³ + b³ > c.(a + b)² - 3abc
a³ + b³ + 3abc > c(a + b)²
Pela desigualdade triangular:
c(a + b)² > c.(c)²
c(a + b)² > c³
Substituindo na relação acima:
a³ + b³ + 3abc > c³
Para a (i) é apenas distribuir o c e passar o "-abc" para o lado esquerdo.
a³ + b³ > c(a² - ab + b²)
fantecele- Fera
- Mensagens : 1225
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
ALEXANDRE RESENDE DE SOUZ gosta desta mensagem
Tópicos semelhantes» Provar que toda paralela determina sobre os lados.....
» Lados de triângulo em PG
» lados do triângulo
» lados do triângulo
» Lados do triângulo
» Lados de triângulo em PG
» lados do triângulo
» lados do triângulo
» Lados do triângulo
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
