Progressão Geométrica

Determinar três números reais em P.G. de modo que sua soma seja 21/8 e a soma de seus quadrados seja 189/64.

Gab: (3/8, 3/4, 3/2)

Obs : Já tentei fazer de todos os jeitos e não consegui, olhei várias resoluções e não entendi nada, quem puder me dar uma luz aí agradeço.

PG: a, b, c ---> Razão q

b = a.q ---> c = a.q² ---> I

(a + b + c)² = 21²/8² --> (a + a.q + a.q²)² = 441/64 --> a².(1 + q + q²)² = 441/64 ---> I

a² + b² + c² = 189/64 ---> a² + a².q² + a².q⁴ = 189/64 ---> II

a².(1 + q² + q⁴) = 189/64 ---> III

II : I --> (1 + q + q²)²/(1 + q² + q⁴) = 441/189 --> (1 + q + q²)²/(1 + q² + q⁴) = 7/3

Basta calcular q = 2 e depois calcular a, b, c

Aqui deu q = 1 e q = -1 e q = 2, qual seria o motivo para desconsiderar o 1 e -1?  Pois estou fazendo como  se eu não soubesse a resposta.


 q^2 + q^4 -6 = 0 => q = 2 e -2

  q^2 + q^4 - 2 = 0 => q = 1 e -1

Completando a resolução do Elcioschin
Descobrindo as raízes "q"

a².(1 + q² + q^4) = 189/64 ---> (III)

a.(1 + q + q²) = 21/8 ---> (I)

A divisão de (III) por (I)

a(1 - q + q²) = 9/8 (IV)

1512 /1344 = 1,125 e 9/8 = 1,125

a² : a = ? quociente a
(1 + q² + q^4) : (1 + q + q²) = ? quociente (1 - q + q²)

(1 + q + q²).(1 - q + q²) = 

1 - q + q²  +  q - q² + q³  +   q² - q³ + q^4
1 -  q +  q   +     q² - q²  +      q³ - q³   + q² + q^4
1 +     0    +         0     +         0      + q² + q^4
1 + q² + q^4

Subtrair a equação (I) com o (IV)

[a.(1 + q + q²) = 21/8]   -  [a(1 - q + q²) = 9/8]
a.(1 + q + q²) = 21/8  - a(1 - q + q²) = - 9/8
a.(1 + q + q²) - a(1 - q + q²) = 21/8 - 9/8
a + aq +aq² - a + aq - aq² = 12/8
2aq = 12/8
2aq = 3/2
aq = 3/4  <--- Eu vou usar ele na (I)  a = 3/4q , q = 3/4a

Lembra da (I)??  "a.(1 + q + q²) = 21/8 ---> (I)"
3/4q.(1 + q + q²) = 21/8
3/4.(1 + q + q²) = 21/8q
3/4 + 3/4q + 3/4q² - 21/8q = 0 
6 + 6q + 6q² - 21q = 0
6q² - 15q + 6 = 0  
2q² - 5q + 2 = 0 <-- usando a fórmula de Sridhara

As raízes são q = 2 e q' = 1/2

25 - 4.2.2
25 - 16 = 9  delta maior que zero tem duas raízes reais

(1 + q² + q^4) : (1 + q + q²) = ? quociente (1 - q + q²)


 Por quê mudou para menos ?

Valeu, já consegui fazer !!!