Progressão Geométrica

Determinar três números reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a soma dos seus quadrados seja 189/64.

Resposta - 3/8 , 3/4 , 3/2

PG (a/q , a , aq )
(a/q) + a + (aq) = 21/8
a(1 + (1/q) + q ) = 21/8 (I)

a²/q² +a² + a²q² = 189/64
 a² ( 1 + (1/q) + (1/q²) = 189/64 (II)
seja q + (1/q) = t , então q² + (1/q²) = t² - 2
(I) : a(t+1) = 21/8
(II) : a² (t² -1) = 189/64  ∴ a²(t+1)(t-1) = 189/64  ∴ a(t-1)(21/8 ) = 189/64  ∴ a(t-1) = 9/8

II / I :
(t+1)/(t-1) = 21/9
(t+1)/(t-1) = 7/3
3t+3 = 7t - 7  ∴ t = 5/2
q + 1/q = 5/2
2q² -5q + 2 = 0  ∴ q = 2 ou q = 1/2 , substitua e ache a.

Luck escreveu:II / I :
(t+1)/(t-1) = 21/9
(t+1)/(t-1) = 7/3
3t+3 = 7t - 7  ∴ t = 5/2
q + 1/q = 5/2
2q² -5q + 2 = 0  ∴ q = 2 ou q = 1/2 , substitua e ache a.

Desculpe-me, não consegui entender esse pedaço da resolução.
Poderia explicar novamente, por favor?

II ---> a(t-1) = 9/8

I ---> a(t+1) = 21/8

II / I = (t-1) / (t+1) = ( 9/8 ) / ( 21/8 ) = 21/9 ---> Simplificando ---> 7/3

3t + 3 = 7t - 7 ---> t = 5/2

Sendo q + (1/q) = t :

q + 1/q = 5/2

Agora ele multiplicou toda a equação por "q"

q² + 1 = 5q / 2
q² - 5q + 2 = 0

Descobrindo as raízes "q"

a².(1 + q² + q^4) = 189/64 ---> (III)

a.(1 + q + q²) = 21/8 ---> (I)

A divisão de (III) por (I)

a(1 - q + q²) = 9/8 (IV)

1512 /1344 = 1,125 e 9/8 = 1,125

a² : a = ? quociente a
(1 + q² + q^4) : (1 + q + q²) = ? quociente (1 - q + q²)

(1 + q + q²).(1 - q + q²) = 

1 - q + q²  +  q - q² + q³  +   q² - q³ + q^4
1 -  q +  q   +     q² - q²  +      q³ - q³   + q² + q^4
1 +     0    +         0     +         0      + q² + q^4
1 + q² + q^4

Subtrair a equação (I) com o (IV)

[a.(1 + q + q²) = 21/8]   -  [a(1 - q + q²) = 9/8]
a.(1 + q + q²) = 21/8  - a(1 - q + q²) = - 9/8
a.(1 + q + q²) - a(1 - q + q²) = 21/8 - 9/8
a + aq +aq² - a + aq - aq² = 12/8
2aq = 12/8
2aq = 3/2
aq = 3/4  <--- Eu vou usar ele na (I)  a = 3/4q , q = 3/4a

Lembra da (I)??  "a.(1 + q + q²) = 21/8 ---> (I)"
3/4q.(1 + q + q²) = 21/8
3/4.(1 + q + q²) = 21/8q
3/4 + 3/4q + 3/4q² - 21/8q = 0 
6 + 6q + 6q² - 21q = 0
6q² - 15q + 6 = 0  
2q² - 5q + 2 = 0 <-- usando a fórmula de Sridhara

As raízes são q = 2 e q' = 1/2

25 - 4.2.2
25 - 16 = 9  delta maior que zero tem duas raízes reais