Questão desafio de conjuntos numéricos.

por Victor4610 Qua 05 Abr 2017, 20:15

Olá a todos !

Me deparei com um desafio que está no livro Os Fundamentos da Matemática Elementar e, para dizer a verdade, não faço a mínima ideia por onde começar. Segue abaixo a questão:

Questão 2) Mostre que o número $x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}$ é inteiro.

Eu procurei o gabarito desta questão e, infelizmente, não o encontrei.

EDIT (I): Encontrei um gabarito, mas não sei se está correto. Respostas: x'=3 e x"= -2.

por **xSoloDrop** Qua 05 Abr 2017, 20:58

Questão desafio de conjuntos numéricos. Codeco10

Observe bem o que está dentro do quadriculado. Agora analise o valor fornecido de x... Percebeu algo? Toda essa expressão pode ser resumida na relação:

Questão desafio de conjuntos numéricos. Codeco11

x² = 6 + x

x² - x - 6 = 0

x' = 3 e x'' = -2

por _danielgnr Qua 05 Abr 2017, 21:39

Não é preciso provar que essa soma é convergente? Desculpe-me pela dúvida.

por Victor4610 Qui 06 Abr 2017, 17:08

xSoloDrop escreveu:
Observe bem o que está dentro do quadriculado. Agora analise o valor fornecido de x... Percebeu algo? Toda essa expressão pode ser resumida na relação:
x² = 6 + x
x² - x - 6 = 0
x' = 3 e x'' = -2

Depois de observar bem, finalmente entendi ! Eu não estava conseguindo enxergar essa relação $x=\sqrt{6 + x}$ .

xSoloDrop, muito obrigado pela força !

_danielgnr, também estou curioso em relação à sua pergunta. Question