Valores de x

por Presa Dom 19 Mar 2017, 21:22

Seja x um número real tal que Valores de x CodeCogsEqn

. Para cada valor real de x, obtém-se o resultado da soma de x² com seu inverso. Sendo assim, a soma dos valores distintos desses resultados é :

A) 4
B) 3
C) 2
D) 1

Gab : Letra A

por **petras** Dom 19 Mar 2017, 23:59

Compartilho solução do Prof. Renato:
\\(x^3+x^{-3})+(x^2+x^{-2}) +(x+x^{-1}) + 2 = 0 (I) \\\ x+ x^{-1} = y \rightarrow (x+x^{-1})^2 = y^2 \rightarrow x^2 + 2 +x^{-2} = y^2 \rightarrow x^2+x^{-2} = y^2 -2\\\ x+ x^{-1} = y \rightarrow (x+x^{-1})^3 = y^3 \rightarrow x^3 + x^{-3}+3.x.x^{-1}.(x+x^{-1}) = y^3 \rightarrow x^3+x^{-3} = y^3 -3y\\\ Substituindo\ (II)\ e\ (III)\ em\ (I): (y^3 -3y)+(y^2-2)+y+2 = 0 \rightarrow y^3+y^2-2y=0\rightarrow y(y^2+y-2)=0 \rightarrow y=0; y=1; y=-2\\\ Encontrando\ x:\\\ y=0\rightarrow x+x^{-1} = 0 \rightarrow x + \frac{1}{x} = 0 \rightarrow x^2+1 = 0 \rightarrow x\notin \mathbb{R}\\\ y=1\rightarrow x+x^{-1} = 1 \rightarrow x + \frac{1}{x} = 1 \rightarrow x^2-x+1 = 0 \rightarrow\Delta < 0\rightarrow x\notin \mathbb{R}\\\ y=-2 \rightarrow x+x^{-1} = -2 \rightarrow x + \frac{1}{x} = -2 \rightarrow x^2+2x+1 = 0 \rightarrow x=-1\\\ y=-2 \rightarrow x = -1 \rightarrow x^2+x^{-2}= y^2-2 = (-2)^2 -2 = 2 \\\ \\\boxed {x^2+x^{-2}=2}

Seu gabarito está errado. O gabarito oficial é 2 como resposta.

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