[Proporção]

Em seu livro Os elementos, Euclides propôs uma maneira de dividir um segmento de reta em duas partes, que chamou de razão áurea. O ponto D, da imagem a seguir, divide o segmento AB, de modo que a razão entre o comprimento total desse segmento da parte maior, AD, seja igual à razão entre o comprimento dessa parte maior e a parte menor, BD, determinadas, ou seja, AB/AD = AD/BD.

|               Comprimento total                         |
-------------------------------------------------------
A----------------------------D---------------------B
         parte maior               parte menor

Dessa forma, a razão AD/BD é igual a:
a)( -1+sqrt5)/2

b)(1-sqrt5)/2

c)(-11sqrt5)/2

d) (1+sqrt5)/2

e) -1+sqrt5

Boa tarde.
Vou chamar o segmento AD de "a", e o DB de "b".
(a+b)/a=a/b
Multiplicando cruzado e ajeitando:
-a²+ab+b²=0
Dividindo ambos os lados por b²
-(a/b)²+(a/b)+1=0
Multiplicando por -1:
(a/b)²-(a/b)-1=0
Substituindo a/b=x:
x²-x-1+0

x=(1±√5)/2

x1=(1+√5)/2
x2=(1-√5)/2


a/b=(1+sqrt5)/2 > 0
a/b=(1-sqrt5)/2 < 0 (!!!)


Veja que o resultado de uma divisão entre dois valores positivos(uma proporção entre duas medidas nesse caso) não pode ser negativo, pois implicaria que uma das partes(a medida "a" ou a medida "b") fosse negativa, o que é um absurdo. Logo a medida é o único x positivo.
Resposta letra D.
Espero ter ajudado.

Muito obrigado!!!