Derivação - Pontos Críticos

Encontre os pontos críticos dessa função:

Gab:

Aplicando a regra do produto:

(4/5)x^(-1/5)    .  (x-4)² + 2x^(4/5) (x-4) = 0

4(x-4)²/[5.raiz quinta de x]  + 2.(raiz quinta de x^4)(x-4) = 0

x - 4 = 0 -> x = 4 é uma solução, pois está em todos os membros.

Dividindo todos por (x-4):

4(x-4)/[5.raiz quinta de x]  + 2.(raiz quinta de x^4) = 0

2(x-4)²/[5.raiz quinta de x]  + raiz quinta de x^4 = 0

2(x-4)/[5.raiz quinta de x]  = -raiz quinta de x^4

2(x-4)= [-raiz quinta de x^4]. [5.raiz quinta de x] 

2x - 8 = -5x

7x = 8 

x = 8/7 (outra solução)

x =0 do gabarito não torna a derivada nula, mas sim indeterminada, uma vez que x=0 é uma assíntota da derivada!

entendi os passos, obrigado, mas como x=0 vai ser assintota, se 0 pertence ao dominio da função?

almeidagg escreveu:entendi os passos, obrigado, mas como x=0 vai ser assintota, se 0 pertence ao dominio da função?

O que eu quis dizer é que x=0 e assíntota da derivada da função, mas não dá função. Ou seja, f'(0) não existe, mas f(0) existe e é um máximo relativo, logo um ponto crítico!

Aliás, tente aplicar o limite de x->0 na derivada da função, talvez você consiga encontrar que f'(0) = 0...

lim(x->0) 4(x-4)/[5.raiz quinta de x]  + 2.(raiz quinta de x^4) = [4(x-4) + 10x]/5(raiz quinta de x)]


Derivando o numerador: 14


Derivando o denominador: 5x^(1/5)' = x^(-4/5) = 1/(raiz quinta de x^4)


Dividindo a derivada do numerador pela derivada do denominador:


14. raiz quinta de x^4


Substituindo x = 0: f'(x) = 0


Agora nós provamos que x=0 também zera a derivada, logo, também é um ponto crítico!

Blz, entendi. Obrigado!

almeidagg escreveu:Blz, entendi. Obrigado!

Disponha!