Questão-Desafio: Distância entre dois pontos

Olá, pessoal. Gostaria de uma ajuda na resolução desta questão, por favor. Agradeço deste já.


Dados os pontos A(0, 3), B(2, 0) e C(-7, -6), determine as coordenadas do ponto D, para que esses pontos sejam vértices de um retângulo.


Resposta: D(-9, -3)

Boa tarde. 

Para que estes pontos sejam vértices de um retângulo, a reta suporte do lado CD deve ser paralela à reta suporte do lado AB (desenhe para ver melhor). 

(r): Eq. reta sup. de AB: y = -3x/2 + 3
(s): Eq. reta sup. de CD: y = -3x/2 + q (possui o mesmo coeficiente angular, pois é paralela).

A reta s passa pelo ponto C, logo podemos encontrar q. 

C(-7,-6): -6 = 21/2 + q --> q = -33/2 

s: y = -3x/2 -33/2

Para ser um retângulo, dCD = dAB. Assim,

(x+7)²+(y+6)²=13

(x+7)²+(-3x/2 -21/2)² = 13

(x+7)² +9(x+7)²/4 = 13

13(x+7)²/4 = 13

(x+7)² = 4

x = - 9 ou x = - 5 

Se x = - 9:

y = -3.-9/2 -33/2 = - 3

Se x = - 5:

y = -3.-5/2 - 33/2 = - 9

Temos dois pontos: (-9,-3) e (-5,-9). Note porém, que o ponto (-5,-9) não serve, pois nesse caso a figura formada seria um paralelogramo. Veja:

Eq. de BD: y = 3x - 6 (m = 3)

Ângulo entre BD e CD:



Por outro lado, no caso do ponto (-9,-3):

Eq. de AD: y = 2x/3 + 6

Note que 2/3.-3/2 = -1, logo a reta suporte de AD é perpendicular à reta suporte de CD.

Muito obrigado pela sua resposta detalhada, Gilberto!

Desenhe os pontos que você conhece.
Perceba que para ir do ponto B até o ponto A, podemos "andar" duas vezes pra esquerda e três vezes pra cima.
O mesmo padrão deve ser seguido para ir do ponto C até o ponto D, para que esses pontos sejam vértices de um retângulo. Veja a imagem:

Boa, Thomas! Muito Obrigado! Sabia que era algo assim, até tinha feito o desenho, rsrs.