Geometria analítica

Determinar o vértice A de um triângulo equilátero ABC onde B(13;5) e C(-17;21)

Resposta: A(8*V3 - 2; 15*V3 + 13) ou A(-2 -8*V3; 13 - 15*V3)

Obrigado !!!

Lado do triângulo equilátero ----> BC² = (xB - xC)² + (yB - yC)² ----> BC² = (13 + 17)² + (5 - 21)² ----->

BC² = 900 + 256 ----> BC = 34

Equação da reta suporte do lado BC:

y - yC = [(yB - yC)/(xB - xC)]*(x - xC) ----> y - 21 = [(5 - 21)/(13 + 17)]*(x + 17) ----> y = - (8/15)*x + 179/15

Ponto médio de BC -----> H(-2, 13)

Equação da reta R perpendicular a BC passando por H ----> y - 13 = (15/8 )*(x + 2) -----> y = (15/8 )*x + 67/4

Esta reta R contém a altura AH do triângulo relativa à base BC

Altura ----> AH = BC*\/3/2 ----> AH = 34*\/3/2 ----> AH = 17*\/3

BH = CH = 34/2 ----> BH = AH = 17

Reta BC -----> y = -(8/15)*x + 179/15 -----> 15y = - 8x + 179 -----> 8x + 15y = 179

Distância de A(xA, yA) até a reta BC ----> (8*xA + 15*yA + 179)/ \/(8² + 15)² = 17*\/3 ----->

(8*xA + 15*yA + 179)/17 = 17*\/3 -----> 8*xA + 15*yA + 179 = 289*\/3 -----> I

Tente continuar a partir daí

Mestre Elcioschin, eu boiei na sua resolução porque estou bem no começo do estudo da geometria analítica. Vou analisá-la um pouco mais pra frente, e se tiver dúvida, volto a perguntar. Não sei porque o livro colocou essa questão antes da parte teórica correspondente. Abraços e muito obrigado !!! Eduardo.

Eduardo

Concordo: é uma problema trabalhoso.
Tente aompanhar minha solução fazendo um bom desenho passo-a-passo.

Elcio

Mestre Elcioschin, consegui resolver o problema, que não sei se seria o complemento da sua resolução. Aí vai:

Reta da altura do triângulo ---> y = 15x/8 + 67/4 ---> x = 0 ---> y = 67/4 ---> chamarei esse ponto de ponto P (0;67/4)

H(-2;13) ---> ponto médio de BC

Distância de H a P ---> d²HP = (0 + 2)² + (67/4 - 13)² ---> dHP = 17/4

A é o vértice procurado e AH = 17*V3

Razão PH/HA = (17/4)/17*V3 = V3/12 --->

(XH - XP)/(XA - XP) = V3/12 ---> (-2 - 0)/(XA + 2) = V3/12 ---> XA = -8*V3 - 2

(YH - YP)/(YA - YH) = V3/12 ---> (13 - 67/4)/(YA - 13) = V3/12 ---> YA = 13 - 15*V3

O vértice A também pode estar do outro lado da base BC. Chamarei o vértice do outro lado de A':

A'H - PH = 17*V3 - 17/4 = (68*V3 - 17)/4

Razão HP/PA' = (17/4)/((68*V3-17)/4) = 17/(68*V3-17)

(XP - XH)/(XA' - XP) = 17/(68*V3-17) ---> (O + 2)/(XA' - 0) = 17/(68*V3-17) ---> XA' = 8*V3 - 2

(YP - YH)/(YA' - YP) = 17/(68*V3-17) ---> (67/4 - 13)/(YA' - 67/4) = 17/(68*V3-17) ---> YA' = 13 + 15*V3

A resolução confere com o gabarito ---> A(-8*V3-2; 13-15*V3) e A'(8*V3-2;13+15*V3)

Abraços !!! Eduardo.

Corretíssimo