fuvest 2016

No plano cartesiano, um círculo de cento P=(a,b) tangencia as retas de equação y=x e x=0. Se P pertence à parábola de equação y=x² e a>0, a ordenada b do ponto P é igual a:
R:3 + 2(raiz de 2)


Já encontrei a resposta, mas não compreendo o porquê de esse raciocínio não estar correto:

Se as retas são tangentes, então D(ponto até a reta x-y=0) = D(ponto até a reta x=0):

y = (raiz de 2)x + x
Já que y=b e x=a, então b = (raiz de 2)a + a , o que não bate com o gabarito, já que a resposta teria que ter os coeficientes "a" iguais.

Igualando as distâncias:

Desenhe um sistema xOy e a reta y = x (bissetriz do 1º e 3º quadrantes)

A reta x = 0 é o próprio eixo y: assim, a circunferência tangencia o eixo y e a reta y = x

Como a > 0 existem duas possibilidades para o centro P(a, b) da circunferência:

1) Centro no 4º quadrante, abaixo da reta y = x (e abaixo do eixo x). Desenhe-a (ela tangencia o eixo Y-) e a reta y = x por baixo.

Acontece que ela não tem centro no ponto P da parábola y = x², que está no 1º e 2º quadrante. Logo não serve.

2) Centro no 1º quadrante, acima da reta y = x ---> Desenhe-a (ela tangencia o eixo Y+) e o eixo x, por cima.

Ponto P(a, b) --> passa pela parábola y = x² ---> b = a² ---> P(a, a²)

A distância do centro P(a, a²) ao eixo y vale o raio da circunferência ---> r = a.
A distância de P(a, a²) à reta x - y = 0 também é igual ao raio:

a = |1.xP - 1.yP|/√[1² + (-1)²] ---> a = |a - a²|/√2 ---> |a - a²| = √2.a ---> Temos duas possibilidades:


I) a - a² = √2.a ---> :a ---> 1 - a = √2 ---> a = 1 - √2 ---> Não serve, pois a > 0


b) - a + a² = √2.a ---> :a ---> -1 + a = √2 ---> a = √2 + 1


yP = a² ---> yP = (√2 + 1)² ---> yP = 3 + 2.√2

Outra forma:

Seja A*x + B*y  C = 0 a forma geral da equação de uma linha reta

Observamos que o centro da circunferência tangente as duas retas dadas ( x = 0 e x - y = 0 ) pertence à bissetriz das mesmas e à parábola.

x + 0 + 0 ................. x - y + 0
------------------ = -------------------
+ \/ (0² + 1² )...... - \/(1² +(-1)²)

x / 1 = ( x - y )/\/2

y = ( \/2 + 1 )*x  ( equação da bissetriz )


Interseção da bissetriz com a parábola:

x² = ( \/2 + 1 )*x

x = \/2 + 1

assim,

y = ( \/2 + 1 )²

y = 3 + 2\/2

Alguém pode elucidar, por favor, como sair de d= (a² -a)\ √2  para ----> d = |a|
??

O Euclides não saiu de uma equação para chegar na outra

Na 1ª equação ele calculou a distância do ponto P(a, a²) à reta y = x ou x - y = 0

d = |1.a - 1.a²|/√(1² + 1²) ---> d = |a - a²|/√2

Na 2ª equação ele calculou a distância do ponto P(a, a²) à reta x = 0

d = |1.a + 0.a²|/√(1² + 0²) ---> d = |a|/1

Ver figura abaixo: