Função Continua e progressão aritmética

por evandronunes Qui 06 Out 2016, 18:28

Seja f: R → R uma função contínua que assume valores positivos e negativos. Dado k > 2 natural, prove que existem reais a₁, a₂, ..., a_k em progressão aritmética tais que

f(a₁) + f(a₂) +...+ f(a_k) = 0.

por **gilberto97** Qua 12 Out 2016, 19:16

A primeira coisa que pensei foi uma função ímpar...

Vamos supor que f(-x) = -f(x), ou... f(a1)=-f(ak), logo ak = -a1.

ak = a1 + (k-1)r

ak = (k-1)r/2

Vamos supor que r = 1 e k = 5, então a5 = 2. Logo a1 = -2, a2 = -1, a3= 0 e a4 = 1. Como f(-2) = -f(2), a soma

f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)

será nula se f(0) = 0. Então pensei em funções como f(x) = x, f(x) = x³,..., f(x) = x^n, como n = 1,3,5,...

Bom, se você tiver uma solução mais "geral", sem ser "no olho", aceito.

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