Poliedros

por Djgiovane01 Dom 11 Set 2016, 19:05

Calcule o número de diagonais de todo poliedro convexo de 13 faces e 20 arestas.

O exercício não deu o gênero das faces.como proceder?

por Alexandre B. Qui 05 Set 2024, 23:01

Então, apesar do enunciado não fornecer os gêneros das faces é possível seguir da seguinte maneira:

1º passo: Dado são dados vértices e arestas, vale a relação de Euler.

V + F = A + 2

V + 13 = 20 + 2

V = 9

2° passo: Sabendo-se da relação 2A = 3F₃ + 4 F₄ + 5 F₅ + ... , é possível montar um sistema com a soma das faces do poliedro.

40 = 3 F₃ + 4F₄+ 5F₅ + 6F₆ + ... (I)

13 = F₃ + F₄ + F₅ + F₆ + ... (II)

Fazendo (I) - [3 x (II)]:

1 = F₄ + 2F₅ + 3F₆ + ...

Nesse caso, perceba que como os números de faces precisam ser números naturais, a única forma de que a equação acima seja obedecida é quando F₄ = 1 e os demais são nulos. Como o poliedro apresenta 13 faces, as outras 12 são necessariamente triangulares.

3º passo: Obtendo o número de diagonais a partir de sua relação.

D = [V! / 2!(V-2)!] - A - diagonais das faces

D = [9! /2! 7!] - 20 - 2

D = 36 - 22 ---> D = 14

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