Álgebra Linear-autovalores e autovetores

Ache os autovalores e os autovetores correspondentes e (quando possível) dê as matrizes S, D com A=SDS^-1

Os autovalores satisfazem \det{(A-\lambda I)}=0

\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2\\  0 & -1-\lambda \end{vmatrix}=0 \rightarrow (1-\lambda)(1+\lambda)=0

Logos os autovalores serão 1 e -1.

Autovetor de 1 Ax=1x

\begin{pmatrix} 1 & 2\\  0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\  x_2 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} x_1\\  x_2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} x_1+2x_2\\  -x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1\\  x_2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2x_2\\  -2x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\  0 \end{pmatrix}\rightarrow x_2=0

Logo o autovetor é (1,0)=v1

Autovetor de -1 Ax=-1x

\begin{pmatrix} 1 & 2\\  0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\  x_2 \end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix} x_1\\  x_2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} x_1+2x_2\\  -x_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x_1\\  -x_2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2x_1+2x_2\\  0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\  0 \end{pmatrix}\rightarrow x_2=-x_1

Logo o autovetor -1: (1,-1)=v2

Sabemos então que D=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0\\  0 & \lambda_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & -1 \end{pmatrix} 
S=\begin{pmatrix} \mathbf{v_1 }& \mathbf{v_2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\  0 & -1 \end{pmatrix}

E como você pode ver, 
\begin{pmatrix} 1 & 2\\  0 & -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\  0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\  0 & -1 \end{pmatrix}^{-1}

Obs.: Caso você não soubesse, as colunas de S são formadas pelos autovetores de A, na ordem em que os seus respectivos autovalores aparecem na diagonal principal de D. Também você pode provar fazendo o seguinte:


A=SDS^-1 logo AS=SD


\begin{pmatrix} 1 & 2\\  0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b\\  c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b\\  c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0\\  0 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a+2c & b+2d\\  -c & -d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & -b\\  c & -d \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2c & 2b+2d\\  -2c & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Logo c=0, d=-b e a é qualquer real.

Portanto, S deve ser da forma:

\begin{pmatrix} a & b\\  0 & -b \end{pmatrix}

Com a e b sendo dois reais quaisquer. Repare que a primeira e a segunda coluna formam os autovetores (1,0) e (1,-1). Fazendo a=b=1, chegamos ao S que eu havia escrito primeiramente.

Abraço!