Razão entre áreas de calota esférica e cone

por **Eduardo Sicale** Qui 10 Fev 2011, 20:58

Dada uma circunferência de raio R, tirar, pela extremidade A do diâmetro AB, uma corda AC, tal que, girando a figura em torno de AB, a área da calota gerada pelo arco AC esteja para a área lateral do cone de geratriz AC, numa razão m:n.

Resposta: (2R/m)*(m²-n²)^1/2

Aos mestres, meus sinceros agradecimentos.

por **adriano tavares** Sáb 31 Dez 2011, 02:45

Olá,Eduardo Sicale.

[img] Razão entre áreas de calota esférica e cone Calotaesfricaecone

[/img]

$A_{calota}=2\pi Rh$

$A_{cone }=\pi r.(AC)$

$(AC)=x$

Aplicando Pitágoras no triângulo verde teremos:

$r^2=R^2-(R-h)^2 \Rightarrow r^2=R^2-R^2+2Rh-h^2 \Rightarrow r=\sqrt{2Rh-h^2}$

$(AC)^2=r^2+h^2 \Rightarrow (AC)^2=h^2+2Rh-h^2 \Rightarrow (AC)^2=2Rh$

$h=\frac{x^2}{2R}$

$A_c=\pi r.x \Rightarrow A_c=\pi \sqrt{2Rh-h^2}.\sqrt{2Rh}$

De acordo com o enunciado temos:

$\frac{A_{calota}}{A_{cone}}=\frac{m}{n} \Rightarrow \frac{2\pi Rh}{\pi \sqrt{2Rh-h^2}.\sqrt{2Rh}}=\frac{m}{n}$

Elevando ambos os membros ao quadrado teremos:

$\frac{4 R^2h^2}{2Rh(2Rh-h^2)}=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow \frac{2Rh}{2Rh-h^2}=\frac{m^2}{n^2}$

$\frac{2R}{2R-h}=\frac{m^2}{n^2}\Rightarrow 2Rn^2=m^2\left ( 2R-\frac{x^2}{2R}\right )$

$2Rn^2=m^2\left ( \frac{4R^2-x^2}{2R}\right )\Rightarrow 4R^2n^2=4R^2m^2-m^2x^2$

$m^2x^2=4R^2m^2-4R^2n^2\Rightarrow x=\sqrt{\frac{4R^2(m^2-n^2)}{m^2}}\rightarrow x=\frac{2R}{m}\sqrt{m^2-n^2}$

por **Eduardo Sicale** Ter 03 Jan 2012, 19:10

Adriano, muito obrigado por responder. As suas resoluções são sempre geniais nesses problemas mais difícies. Abraços !!! Eduardo.

por **Euclides** Ter 03 Jan 2012, 19:14

Eduardo Sicale escreveu:Adriano, muito obrigado por responder. As suas resoluções são sempre geniais nesses problemas mais difícies. Abraços !!! Eduardo.

Nada como ter o Adriano de volta....

:bball: cheers