A calha ideal

Mais um problema prático de maximização (este é mais complexo, porém dá para resover sem derivadas):

Suponha que você possua uma chapa de alumínio de largura d.
Dobrando-se as duas laterais da chapa pode-se fabricar uma calha (para escoamento de água do telhado) com o formato de um trapézio isósceles (invertido).
Qual devem ser as dimensões da calha para que ela consiga escoar a maior quantidade de água possível?
Qual a relação deste problema com as abelhas? (podem rir à vontade: eu rirei por último!!!)

Para padronizar as soluções, façam:

x = lados oblíquos do trapézio
y = base menor do trapézio (base inferior da calha)
y + 2z = base maior do trapézio

Elcioschin escreveu:Mais um problema prático de maximização (este é mais complexo, porém dá para resover sem derivadas):

Suponha que você possua uma chapa de alumínio de largura d.
Dobrando-se as duas laterais da chapa pode-se fabricar uma calha (para escoamento de água do telhado) com o formato de um trapézio isósceles (invertido).
Qual devem ser as dimensões da calha para que ela consiga escoar a maior quantidade de água possível?
Qual a relação deste problema com as abelhas? (podem rir à vontade: eu rirei por último!!!)

Para padronizar as soluções, façam:

x = lados oblíquos do trapézio
y = base menor do trapézio (base inferior da calha)
y + 2z = base maior do trapézio

Boa noite, Elcio!

Eu havia chegado à conclusão (pela lógica) que "x" e "y" deviam ser iguais.

E até considerei que o ângulo interno (entre as paredes "x" e "y") deveria ser de 135º, de maneira que a altura do trapézio seria igual a "z".

Mas foi então que parei para atentar quanto à sua observação sobre as abelhas, e me lembrei, então, que seus alvéolos têm formato hexagonal; donde a conclusão lógica:

d = 3x
y = x
z = x/2



Área máxima do trapézio:

(B+b)/2 * h = (2x + x)/2 * x√3/2 = 3x/2 * x√3/2 = 3x²√3/4






Um abraço.

Amigo Ivomilton

Você usou todas as informações que eu dei para chegar a esta conclusão brilhante.
Mas agora eu vou me tornar um "chato":

A esperteza e a intuição levam a esta conclusão. Acontece que na Matemática existe uma necessidade insuperável: a prova!

Como eu tinha dito é possível provar por derivadas ou por álgebra. Devido a eu ter postado o problema no tópico de Álgebra, é esta a solução procurada.

Para conseguir prová-la é necessário voltar alguns tópicos atrás quando eu afirmei que ao se dividir um número N em n partes de modo que o produto delas seja máximo, é necessário que as n partes sejam iguais, por exempo

N = 8 ---> partes 4 + 4 ----> 4*4 = 16 ----> produto máximo de duas partes

N = 9 ----> partes 3 + 3 + 3 ----> 3*3*3 = 27 ---> produto máximo de três partes

Vamos deixar a questão em suspenso para ver se alguns dos "garotos" vai ousar!!!

Antes de tentar provar o por quê o hexágono tem a máxima área, e, consequentemente, a maior vazão.

Estou confuso quanto a resposta correta para o valor de "d". Sabendo que o hexágono possui a maior área.
Aqui está minha interpretação geométrica:


Estando atento ao lembrete do Mestre Elcio:

Para conseguir prová-la é necessário voltar alguns tópicos atrás quando eu afirmei que ao se dividir um número N em n partes de modo que o produto delas seja máximo, é necessário que as n partes sejam iguais, por exempo

N = 8 ---> partes 4 + 4 ----> 4*4 = 16 ----> produto máximo de duas partes

N = 9 ----> partes 3 + 3 + 3 ----> 3*3*3 = 27 ---> produto máximo de três partes

Vou trabalhar agora no por quê o hexágono ter a maior área.

Boa noite para todos!

Fiz de uma outra maneira; será que deste modo seria suficiente, ou ainda ficaria algo a ser provado?

...x/2................d-2x...............x/2....
'''.........|............................|..........
''''........|............................|.........
''''''x.....| x√3/2..................|......x
''''''''.....|............................|......
'''''''''....|............................|....
''''''''''''..|............................|..
'''''''''''''''.............d-2x...........

(x/2)/x = sen 30º
(x√3/2)/x = cos 30º
ângulo entre 'x' e 'd-2x' = 120º = ângulo interno de um hexágono = formato de um alvéolo de colméia de abelhas


B = x/2 + d-2x + x/2 = d-x
b = ........................ = d-2x

B+b .... d-x + d-2x ... 2d - 3x
----- = ------------- = ---------
..2 ............ 2 ............... 2

h = √3/2

..... B+b ........ 2d – 3x .... x√3/2
A = ------ h = ---------- . ---------
....... 2 .............. 2 ............ 2

...... 2dx√3 – 3x² √3
A = ------------------
................ 4

..... -3√3 ........ d√3
A = ------ x² + ------ x
........ 4 ............ 2

........ –b ..... -d√3/2 .... d
Xv = ----- = --------- = ---
........ 2a ..... -3√3/2 .... 3


....... -Δ ..... -(d√3/2)² ..... 3d²/4 ........ d² ...... d².√3 ...... d²√3 ...... d²√3
Yv =------ = ------------ = --------- = ------ = --------- = --------- = --------
....... 4a ........ -3√3 ......... -3√3 ....... 4√3 .... 4√3.√3 ...... 4.3 ........ 12







Um abençoado domingo e nova semana!

Vou mostrar uma solução:

Trapézio com b = y, B = y + 2z, e lados iguais x

Altura do trapézio ----> h² = x² - z² ----> h = \/(x² - z²)

Área do trapézio ----> A = [(B + b)/2]*h ----> A = {[(y + 2z) + y]/2}*\/(x² - z²)

A = (y + z)*\/(x² - z²) ----> A² = (y + z)²*(x² - z²)

Quando a área A for máxima A² também o será:

A² = (y + z)*(y + z)*(x + z)*(x - z) ----> Agora o pulo do gato:

3A² = (y + z)*(y + z)*(x + z)*(3x - 3z)

Quando a área A for máxima 3A² também o será.

Temos, portando, a multiplicação de 4 fatores cuja soma S vale:

S = (y + z) + (y + z) + (x + z) + (3x - 3z) ----> S = 2y + 4x ----> S = 2*(y + 2x)

Acontece que y + 2x = d (largura da chapa), logo ----> S = 2d

Provamos em tópicos anteriores que se um número constante (2d) for dividido em 4 partes, o produto destas 4 partes será máximo quando as partes forem IGUAIS (lembram-se?)

Logo podemos escrever:

y + z = x + z -----> y = x = d/3

x + z = 3x - 3z ----> 2x = 4z ----> x = 2z ----> z = x/2 ----> z = (d/3)/2 ----> z = d/6

Como o cateto z é a metade da hipotenusa x em cada triângulo (x-h-z)do trapézio, o ângulo entre x e altura h vale 30º.

Assim o ângulo de inclinação da calha vale Ô = 90º + 30º = 120º

Conclusão: O máximo de seção da calha se dá quando as dobras feitas na chapa tenham a forma de 3 lados contíguos de uma hexágono regular

Que solução sofisticada, e bem elaborada, Mestre Elcio!
Essa parte não consegui visualizar:

Assim o ângulo de inclinação da calha vale Ô = 90º + 30º = 120º

Conclusão: O máximo de seção da calha se dá quando as dobras feitas na chapa tenham a forma de 3 lados contíguos de uma hexágono regular

Vinicius

Sejam:

MN a base menor (inferior) ----> MN = y
PQ a base maior (superior) ----> PQ = y + 2z
MR a altura traçada por M e NS a alutra traçada por N
MP = NQ = x
PR = QS = z

No triângulo retângulo MRP (ou NSQ) temos:

x = y = d/3
z = d/6

sen(P^MR) = PR/MP ----> sen(M^PR) = z/x ----> sen(M^PR) = (d/6)/(d/3) ---->

sen(M^PR) = 1/2 ----> M^PR = 30º

MR é altura ----> R^MN = 90º

P^MN = M^PR + R^MN ----> P^MN = 30º + 90º ----> P^MN = 120º ----> hexágono

Entendi. Muito obrigado, Mestre Elcio.

Boa tarde, amigos Elcio e vinicius!

Cheguei há pouco de uma viagem que durou uma semana, e encontrei a magnífica solução apresentada pelo mestre Elcio.
Meus parabéns, amigo Elcio, por tão engenhosa e clara solução a este problema. Realmente havia nele algo de muito especial, que o levou a utilizar um belo artifício do qual eu nem de leve poderia imaginar!








Uma excelente semana para ambos.