Problema - (número de objetos)

Contando-se certo número de objetos de 2 em 2, de 3 em 3, de 4 em 4, de 5 em 5, de 6 em 6, sempre sobra 1; mas contando-se de 7 em 7, não sobra nenhum. Determinar o número de objetos, sabendo-se que ele é menor do que 500.
a)289
b)301
c)455
d)425
e)329

Contando-se certo número de objetos de 2 em 2, de 3 em 3, de 4 em 4, de 5 em 5, de 6 em 6, sempre sobra 1; mas contando-se de 7 em 7, não sobra nenhum. Determinar o número de objetos, sabendo-se que ele é menor do que 500.
a)289
b)301
c)455
d)425
e)329

mmc(2,3,4,5,6) = 60

N – 60m = 1 → N = 1 + 60m
N = 7n

1 + 60m = 7n

7n – 60m = 1 → Equação Diofantina

...... 60m + 1 ............... 4m + 1
n = ----------- = 8m + ---------
........... 7 ........................ 7

Uma vez que "n" e "m" devem ser inteiros, o quociente da última fração também o deverá ser. Façamo-lo, portanto, igual a "p":

..4m + 1
--------- = p
..... 7

4m + 1 = 7p
4m = 7p – 1

....... 7p – 1 ........... 3p – 1
m = --------- = p + ---------
........... 4 .................. 4

Da mesma forma, a última fração deverá produzir um quociente inteiro. Façamo-la, pois, igual a "q":

.. 3p – 1
---------- = q
...... 4

3p – 1 = 4q
3p = 4q + 1

...... 4q + 1 ............q + 1
p = --------- = q + -------
.......... 3 ................. 3

Novamente, a última fração deverá resultar num quociente inteiro. Vamos fazê-la igual a "r":

.. q + 1
--------- = r
..... 3

q + 1 = 3r

q = 3r – 1

Voltando, e aplicando este valor de "q" na fórmula de "p", fica:

...... 4q + 1 ..... 4(3r –1) + 1 .... 12r – 4 + 1 ..... 12r – 3
p = --------- = ------------- = ------------- = --------- = 4r – 1
.......... 3 ................ 3 .................. 3 ............... 3

Aplicando este valor de "p" na fórmula de "m", vem:

...... 7p –1 ...... 7(4r–1)–1 .... 28r – 7 – 1 ..... 28r –8
m = -------- = ----------- = ------------- = --------- = 7r – 2
......... 4 .............. 4 ................. 4 ................ 4

Finalmente, aplicando este valor de "m" na fórmula de "n", teremos:

...... 60m + 1 ...... 60(7r–2) + 1 .... 420r – 120 + 1 ..... 420r – 119
n = ----------- = -------------- = ---------------- = ------------ = 60r – 17
........... 7 .................. 7 ..................... 7 .................... 7

Concluindo, obtemos:

n = 60r – 17
m = 7r – 2

Como "n" e "m" devem ser inteiros e positivos, teremos que fazer:

60r – 17 > 0
60r > 17
r > 17/60
r => 1

7r – 2 > 0
7r > 2
r > 2/7
r => 1

r ...... n=60r–17 ..... m=7r–2
1 ........... 43 ............. 5
2 .......... 103 ........... 12
3 .......... 163 ........... 19

Logo,

7n = 7.43 = 301
7n = 7.103 = 721 (já excede o limite fixado de ser menor que 500).

Resposta: Alternativa (b) = O número de objetos é igual a 301.




"Respondeu-lhe Jesus: Eu sou o caminho, e a verdade, e a vida; ninguém vem ao Pai, senão por mim." - João 14:6

Ou, pelo Algoritmo de Euclides:

7.n – 60.m = 1

....... 8....1.....1....3
60_|_7_|_4_|_3_|_1_
04_|_3_|_1_|_0_|

4 = 1.60 – 8.7
3 = 1.7 – 1.4 → (substituindo o "4")
3 = 1.7 – 1.(1.60 – 8.7)
3 = 1.7 – 1.60 + 8.7
3 = 9.7 – 1.60
1 = 1.4 – 1.3 → (substituindo o "4" e o "3")
1 = (1.60 – 8.7) – (9.7 – 1.60)
1 = 2.60 – 17.7

7.n – 60.m = 1 → –60.m = 2.60 → m = 120/–60 = –2

7.(–17) – 60.(–2) = 1

n = –17 + 60k → fazendo k=1 → n = –17+60 = 43
m = –2 + 7k → fazendo k=1 → m = –2 + 7 = 5

7.43 – 60.5 = 301 – 300 = 1

Resp.: Alternativa (b) - São 301 objetos.

Olá pessoal.
Há outra forma de fazer essa questão além das duas apresentadas?
Algo mais prático a nível ENEM?
Obg.

LeoMatheusc escreveu:Olá pessoal.
Há outra forma de fazer essa questão além das duas apresentadas?
Algo mais prático a nível ENEM?
Obg.

Boa tarde, Leo.

Múltiplos de 60, + 1 = 1, 61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, ...
Procurando, dentre eles, um que seja múltiplo de 7:
Multiplica-se por 3, soma-se ao segundo, multiplica-se o total novamente por 3, e soma-se o terceiro.
Para verificar qual deles é divisível por 7, siga a regra abaixo:

http://escolakids.uol.com.br/divisibilidade-por-7.htm

_61 — 2*1=2; 6-2=4 (4 não é divisível por 7);
121 — 2*1=2; 12-2=10 (10 também não é);
181 — 2*1=2; 28-2=16 (16 também não é);
241 — 2*1=2; 24-2=22 (22 também não é);
301 — 2*1=2; 30-2=28 (28 É!)

Logo, o número é o 301.



Um abraço.