Mediana relativa (5)

Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice A de um triângulo ABC, sabendo que M(7/2;-1/2) é o ponto médio do lado AB, G(2,-2) é o baricentro do triângulo e o ponto B é (5,-3)

(Sem gabarito)

1) Mediana relativa a um vértice ou a um lado: segmento de reta que vai do referido vértice até sua interseção com o ponto médio do referido  lado oposto àquele vértice.


2) À interseção dos três segmentos, um ponto,  dá-se o nome BARICENTRO ou CENTROIDE ou, em física, para objetos ideais de 2 dimensões, centro de massa ou centro de gravidade.

O baricentro divide qualquer das medianas na proporção 2:1. Isto é, o segmento que vai de um vértice até o baricentro tem o dobro do comprimento do segmento que vai do baricentro ao ponto médio do lado oposto àquele vértice. Ou seja, relativamente ao comprimento da mediana, o baricentro está a 2/3  do vértice e a 1/3 do lado relativo.

3) Portanto, conforme a figura seguinte:

Dados: M (7/2; -1/2),  G (2; -2), B (5; -3)

Sendo: AB notação para  Vetor

Pede-se: |AN|




a) Cálculo do Ponto A(x_a ; y_a):

AB = 2 BM

BM = (x_M - x_B ; y_M - y_B) = ( 3,5 - 5; - 0,5 - (-3) )= (-1,5; 2,5)

2 BM = 2 (-1,5; 2,5) = (-3; 5)

AB =  (x_A - x_B ; y_A - y_B) = ( x_A - 5; y_A - (-3) )=  (x_A - 5; y_A + 3)

(x_A - 5; y_A + 3) = (-3; 5)

x_A - 5 = -3 ⇒ x_A  =  2

y_A + 3 =  5 ⇒ y_A = 2

A = (2; 2)


b) Cálculo de |AN|

|AG| = 2/3 |AN|

AG = (  2 - 2 ; -2 - 2) = (0; -4)

|AG| = 4

|AN| = 3/2  |AG|

|AN| = 3.4 / 2

|AN| = 6

Ou:

AN = AG + GN = AG + AG / 2 = 4 + 2 = 6


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Muito obrigada!!