Números complexos

por Convidado Sex 15 Abr 2016, 00:53

Mostre que (1 + i)^53/(1 -i)^51 é um número real.

Obs: Não consta no meu livro a resposta desta questão.

por Convidado Sex 15 Abr 2016, 01:24

$\frac{(1+i)^{53}}{(1-i)^{51}}$

Transformando os complexos 1+i e 1-i na forma trigonométrica:

1+i -> $\sqrt{2}.cis(45)$
1-i -> $\sqrt{2}.cis(315)$

Substituindo na expressão da questão, vem:

$\frac{(\sqrt{2}cis(45))^{53}}{(\sqrt{2}.cis(315))^{51}}=\frac{(\sqrt{2})^{53}.cis(53.45)}{(\sqrt{2})^{51}.cis(51.315)}$

$\frac{(\sqrt{2})^{53}.cis(2385)}{(\sqrt{2})^{51}.cis(16065)}$

Veja que:

2385º=225º +6.360º

16065º= 225º + 44.360º

$\frac{2.cis(225)}{cis(225)}$

$Resposta=2$

2 é um número real.

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