algebra linear

1) Mostrar que os vetores v₁  = (1,1,1), v₂ = (0,1,1) e v₃ = (0,0,1) geram o R³

Algum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros dois? Ou são LI?

a(1,1,1) + b(0,1,1) = (0,0,1)

a.1 + b.0 = 0 -> a=0
a.1 + b.1 = 0 -> da primeira, a=0; então b=0 também.
a.1 + b.1 = 1 -> das duas anteriores, a+b não pode ser 1, porque é 0.

Logo não existem a e b que satisfaçam a combinação, portanto os vetores são LI.

Eles formam uma base?

Seja um vetor (x, y, z) do R³. Esse vetor pode ser escrito em termos desses três vetores?

a(1,1,1) + b(0,1,1)+c(0,0,1) = (x, y, z)

x = a + 0 + 0 = a
y = a + b + 0 = a+b
z = a + b + c

Logo um vetor qualquer do R3 pode ser escrito em termos desses três vetores, o que os torna base:

(a, a+b, a+b+c) sendo a, b e c escalares.

Por serem LI e base, geram R³.