Qual o máximo valor desta expressão?

por Smasher Dom 06 Mar 2016, 16:04

Calcule o maior valor da expressão $Qual o máximo valor desta expressão? Gif$

Sem gabarito

Dica: substituição trigonométrica .

por **Carlos Adir** Dom 06 Mar 2016, 16:19

Pra fazermos um substituição trigonométrica, vamos primeiro verificar o domínio, e compreender ao domínio de uma função trigonométrica:
$\\ \mathrm{x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2} \\ \mathrm{3 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 3} \\ \boxed{\mathrm{2 \le x \le 3}}$
Agora, vamos chamar uma variável auxiliar: y=x-2
$\\ \mathrm{y=x-2} \\ \mathrm{P=\sqrt{x-2}+2\sqrt{3-x}} \\ \mathrm{P = \sqrt{y}+2\sqrt{1-y}}$
Agora, vamos chamar y=sen²θ, sendo 0 < θ < π/2
$\\ \mathrm{y=sen^2 \theta} \\ \mathrm{P = \sqrt{y}+2\sqrt{1-y}} \\ \mathrm{P=\sqrt{sen^2 \theta}+2\sqrt{1-sen^2\theta}} \\ \mathrm{P=sen \theta + 2 cos \theta}$
Agora, é achar o máximo valor para que seja possível. Para isso, fazemos:
$\\ \mathrm{P=sen \theta + 2 cos \theta} \\ \mathrm{P = \sqrt{1^2+2^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1^2 + 2^2}}sen \theta + \dfrac{2}{\sqrt{1^2+2^2}}cos \theta \right )} \\ \mathrm{sen \ \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}; \ \ cos \ \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}}; \ \ tan \ \alpha = 2} \\ \mathrm{P = \sqrt{5}\left(cos \alpha \cdot sen \theta + sen \alpha + cos \theta \right )} \\ \mathrm{P = \sqrt{5} \cdot sen \left(\theta + \alpha \right )}$
Como o máximo valor aceito é quando o seno é o máximo, então P=√5.
$\mathrm{P = \sqrt{5} \cdot sen \left(arcsen \sqrt{x-2} + \arctan\left(2 \right ) \right )}$

por **Medeiros** Dom 06 Mar 2016, 16:30

Fui chamado ao quintal para resolver um problema com a lava-jato e na volta já tinha a resposta do Carlos Adir. Deixo também a minha que não segue a dica (ou exigência) da transformação trigonométrica.

Qual o máximo valor desta expressão? 2z9dvdw

Qual o máximo valor desta expressão? 2z9dvdw

por **Carlos Adir** Dom 06 Mar 2016, 16:32

Derivada não vale Mestre Medeiros kk

por **Medeiros** Dom 06 Mar 2016, 16:36

Realmente NÃO vale, meu amigo, mas é muito mais fácil. Além do que, não tenho toda essa sua habilidade para transformar e retransformar.

por Smasher Dom 06 Mar 2016, 16:43

Muito obrigado Carlos Adir e Medeiros, fantásticas resoluções! Very Happy

Uma última pergunta, alguém saberia me indicar como treinar/aprender a fazer transformações trigonométricas? Não é um tópico comum pra mim aqui, mas talvez vai da experiência mesmo? Vlw

por **Carlos Adir** Dom 06 Mar 2016, 17:25

Acho que vai de experiencia mesmo, resolver muitas questões ajuda.
Tive essa ideia pois em integração(uma ferramenta do calculo superior) é necessário ter umas "sacadas" para resolver o problemas e frequentemente substituimos os valores de umas incógnitas por outras pra "ver" se ajuda, se não ajudar então voltamos ao passo anterior.
Por exemplo, eu tive que definir primeiro y=x-2 para ver se me ajudava, e após testar apareceu "raiz de y" e "raiz de (1-y)" que me lembrou funções trigonométricas normais.
Eu poderia ter pensado: "1-y=x-2" pra que ficasse "raiz de (1-y)" de um lado, e no outro lado iria ficar "raiz de y" e voltaria ao lugar original. Pra mim é meio "na sorte" e "na intuição". Saber algumas transformações trigonométricas importantes(como 1+cos 2x = 2cos² x ou mesmo 1-cos 2x = 2sen²x) ajudam na resolução.
Enfim, não sei de um material pra te indicar pra ajudar nisso. Em matemática às vezes temos de olhar por todo lado pra ver se achamos uma resolução, e às vezes também as dezenas de caminhos que pegamos não nos levam a nada kk