Inequação-produto de primeiro grau

Estou tendo problemas com aquele (x-1)^(6). Se possível, postem a resolução completa para que eu possa compreender.

Obrigado.

Gabarito:

Aproveitando para tirar dúvidas, se eu dividir os dois lados por (x-1)^5 e (2x-8 )^2, a equação: (x-1)(2x-8 )(x-2)>=0 ainda seria válida?

Não, Matheus. Aparentemente, só é válido fazer a divisão de (x-1)^(6) por (x-1)^(4). A forma simplificada ficaria:

(x-1)^2(2x-8)(x-2)

Ao menos é o que diz o WolframAlpha.

Resta saber o motivo disso... foi por isso que criei o tópico.

Pensei um pouco e talvez seja porque o expoente é par e deva continuar sendo par, uma vez que isso garante que (x-1)^6 será um número positivo. Coloque no WolframAlpha  a divisão por (x-1)^6 para testar, acho que não irá alterar o resultado. Aguardemos a explicação de alguém que entende do assunto melhor do que nós.

Bom dia!

Podemos resolver por 'partes':

x-1 = 0 ==> x=1
2x-8 = 0 ==> x=4
x-2 = 0 ==> x=2

Então, temos '3' raízes (com multiplicidades distintas, eu sei, mas, 3 raízes DIFERENTES)

(x-1)^6 ------------(+)----1---(+)--------(+)------------------(+)------
(2x-8 )^3------------(-)---------(-)---------(-)--------4---------(+)------
(x-2)-----------------(-)--------(-)---2-----(+)------------------(+)------
f(x)------------------(+)---1----(+)---2----(-)--------4---------(+)------
=(x-1)^6.(2x-8 )^3.(x-2)

O sinal da linha f(x) é tão somente a aplicação da regra dos sinais pras linhas anteriores.
Veja, então, que o único intervalo que é negativo é o intervalo entre 2 e 4. Portanto, para a função ser positiva ou nula, temos:
x<=2 ou x>=4

Espero ter ajudado!

O termo (x - 1)⁶ é sempre positivo, logo, não influencia no sinal do produto.

Basta então fazer a Tabela de Sinais (varal) para os outros dois termos (raízes 2 e 4)

Obrigado pelas respostas, pessoal. Entretanto, não compreendi algo ainda: por que (x - 1)⁶ é sempre positivo?

AAAAAH, compreendi!!!

Obrigado gente!