M.D.C. (II)

O produto de dois numeros é 7680 e o mdc 16. Determinar esses números.

Há quatro pares de números que satisfazem as condições:

x	y	x.y	mdc
16	480	7680	16
32	240	7680	16
48	160	7680	16
80	96	7680	16

x=16m
y=16p

x.y=16²m.p
7680=256m.p
m.p=30

m	p	x	y	x.y	mdc
1	30	16	480	7680	16
2	15	32	240	7680	16
3	10	48	160	7680	16
5	6	80	96	7680	16

Não entendi como chegaste a esses valores, Euclides. O que seria m e p?

Christian M. Martins escreveu:Não entendi como chegaste a esses valores, Euclides. O que seria m e p?

Você apenas não quis pensar...

se x é divisível por 16 -> x/16=m , m inteiro. -> x=16m

Christian M. Martins escreveu:O produto de dois numeros é 7680 e o mdc 16. Determinar esses números.

Boa tarde, Christian.

x,y = os dois números
D = 16 = mdc(x,y)

x/16 = p
y/16 = q

(*) Após divisão de x,y pelo mdc de ambos, os quocientes deverão ser primos entre si.

x = 16p
y = 16q

xy = 16p.16q = 256pq = 7680

pq = 7680/256
pq = 30

30 = 2.3.5
Divisores do 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
Pares de divisores (pq) cujo produto recompõem 30:
1*30
2*15
3*10
5*6

Como podemos observar, todos esses pares atendem à observação feita acima (*), ou seja, os elementos de cada par são todos primos entre si.

Os números x,y poderão ser, portanto:
p___q___x=16p___y=16q
1__30____16______480
2__15____32______240
3__10____48______160
5___6____80_______96

Sua questão tem, portanto, 4 soluções:
x,y = {16;480}, {32;240}, {48;160) e {80;96)



Um abraço.

Muito obrigado, Euclides e Ivo.

Abraço!