Triângulos

Questão:Prove que a medida da mediana traçada de um vértice em um triângulo qualquer está entre a semidiferença e a semissoma de dois lados consecutivos a ela.

obs:Eu também gostaria de saber se há alguma forma (ou padrão) para resolver exercícios como este,pois tenho muita dificuldade em exercícios de ''provar algo'',obrigado desde já.

Seja ABC o triângulo o qual você falou. Vamos nos referenciar pela sua base BC, e sua mediana AM relativa a A, com M sobre BC. Faremos a construção de mais um triângulo, A'BC, o qual A'C=AC e A'B=AB. Dessa forma temos uma congruência de triângulos pelo caso LLL, portanto as medianas serão iguais A'M=AM. Com mais um caso de congruência entre os triângulos AMB e A'MC, logo os ângulos A'MC e AMB são iguais, e portanto AM e MA' fazem parte do mesmo segmento.



Da desigualdade triangular no triângulo ABA':

AA' < AB + BA'

porém sabemos que AA'=2AM e BA'=AC:

2AM < AB + AC

AM < \frac{AB+AC}{2}

Considere agora a desigualdade no triângulo ABM:

AB < AM + BM

com BM=BC/2:

AB < AM + \frac{BC}{2}

Porém, a desigualdade em ABC nos diz que:

BC < AB + AC

\frac{BC}{2} < \frac{AB}{2} + \frac{AC}{2}

Somando com a última:

AB + \frac{BC}{2} < AM + \frac{BC}{2} + \frac{AB}{2} + \frac{AC}{2}

\frac{AB-AC}{2} < AM

Sem perda de generalidade, suponha AB>AC

Portanto, 
\frac{AB-AC}{2} < AM < \frac{AB+AC}{2}

Espero ter ajudado, abraço!