Trigonometria

por gabrieldavid Sáb 20 Fev 2016, 08:17

Alguém sabe resolver essa?

A soma de dois arcos é 400°. Calcule seus arcos sabendo que seus cossenos são números simétricos.

por **Carlos Adir** Sáb 20 Fev 2016, 09:39

Do enunciado temos:
$\\ \mathrm{\alpha+\beta=400^o} \\ \mathrm{cos \alpha+cos\beta=0}$
Então, da primeira equação isolamos beta e substituimos na segunda equação:
$\mathrm{cos \alpha+cos\left(400^o -\alpha \right )=0}$
Lembrando que é um circulo trigonométrico, podemos tomar 400º equivalente a 40º, e então resolvemos:
$\\ \mathrm{cos \alpha+cos\left(40^o -\alpha \right )=0} \\ \mathrm{cos \alpha + \left(cos 40^o \cdot cos \alpha + sen 40^o \cdot sen \alpha \right )=0} \\ \mathrm{cos \alpha \left(1+cos \ 40^o \right )+sen\alpha\left(sen 40^o \right )=0} \\ \mathrm{Seja \ A=\sqrt{\left(1+cos 40^o \right )^2+\left(sen40^o \right )^2}=} \\ \mathrm{=\sqrt{2+2cos40^o}=\sqrt{2\left(1+cos40^o \right )}=} \\ \mathrm{=\sqrt{2\left(2cos^2 20^o \right )}=2cos \ 20^o}$
Agora, usamos um "truque" para isolar o alfa:
$\\ \mathrm{a \cdot cos \theta + b \cdot sen \theta = \sqrt{a^2+b^2}\cdot sen \left(\theta+\gamma \right )} \\ \mathrm{sen \gamma = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}; \ \ cos \gamma = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$
E voltando à expressão:
$\\ \mathrm{cos \alpha \left(1+cos 40^o \right )+sen \alpha \left(sen \ 40^o \right )=0} \\ \mathrm{A \cdot sen \left(\alpha + \gamma \right )=0} \\ \mathrm{sen \gamma =\dfrac{1+cos \ 40^o}{A}; \ \ cos \gamma = \dfrac{sen \ 40^o}{A}} \\ \mathrm{Com \ isso: \ sen \gamma =\dfrac{2cos^2 20^o}{2cos \ 20^o}=cos 20^o \Rightarrow \gamma = 70^o} \\ \mathrm{\left(2cos 20^o \right )\cdot sen \left(\alpha + 70^o \right )=0} \\ \mathrm{\Rightarrow \alpha + 70^o = 180^o \cdot k; \ \ k \in \mathbb{Z}}$
Ou seja, agora que conhecemos o valor de alfa, podemos achar o de beta:
$\\ \mathrm{\alpha = -70^o + 180^o \cdot k} \\ \mathrm{\beta = 470^o - 180^o \cdot k; \ \ k \in \mathbb{Z}}$
Isto é, existem infinitos valores, pois podemos considerar qualquer valor de k para que seja verdadeiro. Mas podemos colocar então alguns valores para k:
$\\ \mathrm{\alpha_0 = -70^o; \ \alpha_1=110^o; \ \alpha_2 = 290^o} \\ \mathrm{\beta_0 = 470^o; \ \beta_1=290^o; \ \beta_2 = 110^o}$

por gabrieldavid Sáb 20 Fev 2016, 20:49

Aplaudindo de pé a resolução. Agradeço pela resposta.

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