(II) Lei de Coulomb

por **Christian M. Martins** Sex 19 Fev 2016, 18:29

Três cargas de igual magnitude q estão presas nos vértices de um triângulo equilátero. Uma quarta carga Q está livre para mover-se ao longo do eixo x positivo, sob a influência das forças exercidas pelas três cargas fixas. Seja θ
ângulo para o qual Q está em equilíbrio. Podemos afirmar que:

Gabarito:

Podem me mostrar onde eu errei? Segue minha tentativa de resolução:

Iniciemos pelo cálculo da distância r em função de θ:

$sen\theta = \frac{\frac{a}{2}}{r}\Leftrightarrow r = \frac{a}{2sen\theta}$

Partimos então, para o cálculo de Fe(+q, +q), a força elétrica de repulsão existente entre a carga +Q e cada uma das cargas +q:

$Fe_{(+q, \;+q)} = \frac{4KQqsen^{2}\theta}{a^{2}}$

Calculemos, a partir daí, suas componentes no eixo das abscissas:

$cos\theta = \frac{F_{x}}{Fe_{(+q, \; +q)}}\Leftrightarrow F_{x} = Fe_{(+q, \; +q)}cos\theta$

Obtendo:

$F_{x} = \frac{4KQq \times cos\theta \times sen^{2}\theta}{a^{2}}$

E, finalmente, multiplicamos por dois, pois se tratam de duas forças de repulsão:

$F_{xT} = \frac{8KQq \times cos\theta \times sen^{2}\theta}{a^{2}}\; \; \; \; (I)$

Calculemos, agora, a distância S em função de θ:

$tg\theta = \frac{\frac{a}{2}}{S}\Leftrightarrow S = \frac{a}{2tg\theta}$

A distância D da esfera -q à esfera +Q, em função de θ, portanto, será:

$D = S + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2tg\theta} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a + a\sqrt{3}\times tg\theta}{2tg\theta }$

E a força elétrica de atração entre -q e +Q:

$Fe_{(-q)} = \frac{KQq}{D^{2}} = \frac{KQq}{(\frac{a + a\sqrt{3}\times tg\theta}{2tg\theta })^{2}} = \frac{4KQq\times tg^{2}\theta}{a^{2}+2a^{2}\sqrt{3}\times tg\theta+3a^{2}tg^{2}\theta}$

$Fe_{(-q)} = \frac{4KQq\times tg^{2}\theta}{a^{2}(1+2\sqrt{3}\times tg\theta+3tg^{2}\theta)}\; \; \; (II)$

Igualando as forças, obtém-se, então:

$F_{xT} = F_{(-q)}\Leftrightarrow \frac{8KQq\times cos\theta\times sen^{2}\theta}{a^{2}} = \frac{4KQq\times tg^{2}\theta}{a^{2}(1 + 2\sqrt{3}\times tg\theta + 3tg^{2}\theta )} \; \; \; ((I)\; \; em \; \; (II))$

Enfim, chegando a:

$\frac{(cos \theta \times sen^{2} \theta)(1+2\sqrt{3}\times tg\theta + 3tg^{2}\theta)}{tg^{2}\theta} = \frac{1}{2}$

Daí onde cheguei não consegui sair mais. :scratch:

por **Elcioschin** Sex 19 Fev 2016, 22:22

Vejo duas simplificações

cosθ.sen²θ .... cosθ.sen²θ
------------- = ---------------- = cos³θ
.... tg²θ ......... sen²θ/cos²θ

Fatorando (1 + 2.√3.tgθ + 3.tg²θ) --->

3.tg²θ + 2.√3.tgθ + 1 = 0

Discriminante = (2.√3)² - 4.3.1 = 0 ---> Raiz dupla = - √3/3

(1 + 2.√3.tgθ + 3.tg²θ) = 3.(tgθ + √3/3)²

por **Christian M. Martins** Sex 19 Fev 2016, 22:34

Deixei passar. De qualquer forma, não chega-se ao gabarito. :scratch:

por Smasher Sáb 20 Fev 2016, 10:07

Christian, veja o que acha disso:

Sendo a distância r entre +q e +Q igual a distância entre +Q e a outra carga q+, a força de repulsão entre essas cargas possui mesmo módulo.
No equilíbrio, o triângulo de forças que atuam na carga Q é fechado. Assim:
(II) Lei de Coulomb 2l92x01

Da lei dos senos no triângulo:
$(II) Lei de Coulomb Gif$ >> $(II) Lei de Coulomb Gif$
Desenvolvendo:
$(II) Lei de Coulomb Gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Cleft%20%28tg%5CTheta%20%5Csqrt%7B3%7D+1%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D$

E daí tá difícil desenvolver :/ Talvez o mestre Elcioschin possa apontar algum erro?

por **Christian M. Martins** Sáb 20 Fev 2016, 10:15

Nem pensei em usar lei dos senos nisso. Olha tudo que fiz... Laughing

Ainda assim, as duas resoluções provavelmente estão próximas de chegarem ao gabarito.

por Smasher Sáb 20 Fev 2016, 10:26

Peraí, só desenvolvendo as forças aqui:
$(II) Lei de Coulomb Gif$

$(II) Lei de Coulomb Gif$
$(II) Lei de Coulomb Gif.latex?%5Cdpi%7B80%7D%20%5Cfn_jvn%20%5Cfrac%7BF_%7B+%7D%7D%7BF_%7B-%7D%7D%3D%5Cfrac%7B4sen%5E%7B2%20%7D%5CTheta.%20a%5E%7B2%7D%5Cleft%20%28%20tg%5Csqrt%7B3%7D+1%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D%7D%7B4tg%5E%7B2%7D%5CTheta%20$

Eu acho que a gente tem é que conseguir fatorar monstruosamente Rolling Eyes

por **Elcioschin** Sáb 20 Fev 2016, 13:18

Smasher

Certamente é bastante trabalhoso para chegar na resposta do gabarito (embora sejam apenas manipulações algébricas.

Há necessidade de algumas correções de digitação na sua última mensagem:

Na 2ª e 4ª linha ---> (a.√3)/2 + S)² e {a.(tgθ.√3 + 1}²

por Smasher Sáb 20 Fev 2016, 14:25

Elcioschin escreveu:Smasher

Certamente é bastante trabalhoso para chegar na resposta do gabarito (embora sejam apenas manipulações algébricas.

Há necessidade de algumas correções de digitação na sua última mensagem:

Na 2ª e 4ª linha ---> (a.√3)/2 + S)² e {a.(tgθ.√3 + 1}²

Verdade, obrigado. Ah, digitei com enganos, mas realmente cheguei àquela resposta usando as contas corretas.

por Estevan Cardoso Gonçalves Qua 26 Abr 2017, 19:40

Eu fiz assim...

A resultante das forças relativas às cargas positivas +q é dada pela regra do paralelogramo:

R² = F1² + F2² + 2.F1.F2.cos(2x)

Como lF1l = lF2l = KQq/r², vem:

R² = 2.F² + 2.F².cos(2x) => R² = 2.F²(1+cos2x)

Como 1 + cos2x = 2.cos²x, vem:

R² = 4.F².cos²x => R = 2.F.cosx

Determinando r e S, através do triângulo, vem:

senx = a/2r => r = a/2.senx => r = (a/2).cossecx =>

=> r² = (a²/4).cossec²x

=> S = r.cosx => S = (a/2).cossecx.cosx => S = (a/2).cotgx

Determinando a distancia d entre a carga negativa -q e Q:

d = a.raiz3/2 + S
d = (a/2).(cotgx + raiz3)

A força elétrica entre a carga negativa e a resultante das cargas positivas devem ser iguais em módulo, já que a carga Q deve estar em equilíbrio. Então, temos:

2.F.cosx = Fe -

sendo F = (4KQq)/a². cossec²x

e Fe - = (4KQq)/a².(cotgx + raiz3)²

Fazendo as contas, temos:

2.F.cosx = Fe - (*)
.
.
.
Substituindo os valores anteriores em (*) e simplificando, temos:

(2.cosx)/(cossec²x) = 1/(cotgx + raiz3)²
.
.
[(cosx).(cotg + raiz3)²]/(cossec²x) = 1/2

mas 1/cossec²x = sen²x

Fica,

(cosx).(sen²x).(cotgx + raiz3)² = 1/2 , e como sen²x = 1 - cos²x, vem:

(cosx).(1 - cos²x).(cotgx + raiz3²) = 1/2
.
.
(cosx - cos³x).(cotgx + raiz3)² = 1/2

Alternativa letra A

Prof. Jardel Peres
Engenheiro Aeronáutico - ITA/11