Divisão polinomial

por ScienceRocks! Ter 26 Jan 2016, 15:31

Ao efetuar a divisão $\frac{(x^2+1)^5+(x-1)^3+3x}{x^3-x^2+x-1}$ obtem-se um resto R_(x). Calcule $\frac{R_{(1)}}{R_{(-1)}}$

Resposta: 5/7

por Convidado Qui 28 Jan 2016, 01:21

Veja que x^4-1=(x-1)(x^3-x^2+x-1)

Dessa forma x^3-x^2+x-1 divide x^4-1 o que significa que
x^4-1 \equiv 0 \mod (x^3-x^2+x-1)
x^4 \equiv 1 \mod (x^3-x^2+x-1)

Vamos desenvolver o denominador:

(x^2+1)^5+(x-1)^3+3x \\ x^{10}+5x^8+10x^6+10x^4+5x^2+1+x^3-3x^2+3x-1+3x \\ x^{10}+5x^8+10x^6+10x^4+x^3+2x^2+6x

Agora teremos:
\small (x^2+1)^5+(x-1)^3+3x\equiv x^2(\underset{\equiv 1}{\underbrace{x^4}})^2+5(\underset{\equiv1}{\underbrace{x^4}})^2+10x^2\underset{\equiv1}{\underbrace{x^4}}+10\underset{\equiv1}{\underbrace{x^4}}+x^3+2x^2+6x mod x³-x²+x-1

\small (x^2+1)^5+(x-1)^3+3x\equiv x^2+5+10x^2+10+x^3+2x^2+6x \mod (x^3-x^2+x-1)

\small (x^2+1)^5+(x-1)^3+3x\equiv x^3+13x^2+6x+15 \mod (x^3-x^2+x-1)

\small (x^2+1)^5+(x-1)^3+3x\equiv x^3+13x^2+6x+15 \mod (x^3-x^2+x-1)

Uma vez que x^3-x^2+x-1 \equiv 0 \mod (x^3-x^2+x-1)

\small (x^2+1)^5+(x-1)^3+3x\equiv \underset{\equiv 0}{\underbrace{x^3-x^2+x-1}}+14x^2+5x+16 \mod (x^3-x^2+x-1)

\small (x^2+1)^5+(x-1)^3+3x\equiv 14x^2+5x+16 \mod (x^3-x^2+x-1)

Logo o resto será R(x) = 14x^2+5x+16

R(1)=35 e R(-1)=25, e portanto:
\frac{R(1)}{R(-1)}=\frac{35}{25}=\frac{7}{5}

Observação: Pelo teorema do resto,
P(a)=R(a) , onde P(x) é o numerador e a é uma raiz do denominador.
Ou seja, o valor de R(a) pode ser encontrado aplicando a em P(x). Veja que x=1 é raiz do denominador e, portanto, R(1)=P(1)=(1^2+1)^5+(1-1)+3\cdot 1 = 35 .
Logo a resposta é 7/5 e não 5/7 como no enunciado.

por **gilberto97** Qui 28 Jan 2016, 03:23

Olhe primeiro para o denominador e note que

x^{3}-x^{2}+x-1=(x-1)(x^{2}+1)

Reescreva a fração da seguinte maneira:

\frac{(x^{2}-1)^{5}}{(x-1)(x^{2}+1)}+\frac{(x-1)^{3}+3x}{(x-1)(x^{2}+1)}

Note que \frac{(x^{2}-1)^{5}}{(x-1)(x^{2}+1)} apresenta resto 16x^{2}+16 (Apenas aplique o teorema do resto para (x²+1)^4 e multiplique por (x²+1).

Agora a única tarefa é obter o resto da divisão \frac{(x-1)^{3}+3x}{(x-1)(x^{2}+1)} . Isso pode ser feito rapidamente pelo método da chave. Você deverá obter resto -2x^{2}+5x .

O resto da divisão inicial é então a soma dos restos obtidos:

R(x) = 16x^{2}+16 - 2x^{2}+5x = 14x^{2} + 5x + 16 .

Agora é só prosseguir.

por Conteúdo patrocinado

Divisão polinomial

Divisão polinomial

Re: Divisão polinomial

Re: Divisão polinomial

Re: Divisão polinomial

Um fórum livre e democrático.