Determine os valores de a
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Determine os valores de a
por leonardoleonardo Qua 20 Jan 2016, 12:05
Determine os valores de a para os quais a expressão a+3x/(x-1).(x+1) assume todos os valores reais.
R: a ∈ [-3;3]
R: a ∈ [-3;3]
leonardoleonardo- Iniciante
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Re: Determine os valores de a
por magnusmanrik Qui 23 Abr 2020, 21:06
Saudações guerreiros! Alguém poderia me ajudar nessa questão? Não entendo muito bem o porquê de a resposta ser essa: a ∈ [-3;3]. Para mim (no meu humilde saber) os único valor que não poderiam ser assumidos seriam 1 e -1, mas isso valeria para "x", e não para "a". Creio que "a" poderia assumir qualquer valor real para que a expressão fosse real. O que estou errando?
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magnusmanrik- Recebeu o sabre de luz
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Re: Determine os valores de a
por Lucius Draco Qui 02 Jul 2020, 12:58
Veja que para algum x temos:
[latex]\frac{a + 3x}{x^2-1}=y;\; \forall \: y\: \epsilon\: \mathbb{R}[/latex]
Com isso temos:
[latex]y\cdot x^2 - 3\cdot x-(y+a)=0[/latex]
Como x é um numero real temos que:
[latex](-3)^2 - 4\cdot y\cdot (-(y+a))\geq 0[/latex]
[latex]4\cdot y^2+4a\cdot y+9\geq 0[/latex]
Como y ∈ ℝ, temos que:
[latex](4a)^2-4\cdot 4\cdot 9 \leq 0[/latex]
[latex]16\cdot a^2\leq 16\cdot 9\Rightarrow a^2\leq 9[/latex]
[latex]a^2\leq 9\Rightarrow a\: \epsilon \left [ -3,3 \right ][/latex]
[latex]\frac{a + 3x}{x^2-1}=y;\; \forall \: y\: \epsilon\: \mathbb{R}[/latex]
Com isso temos:
[latex]y\cdot x^2 - 3\cdot x-(y+a)=0[/latex]
Como x é um numero real temos que:
[latex](-3)^2 - 4\cdot y\cdot (-(y+a))\geq 0[/latex]
[latex]4\cdot y^2+4a\cdot y+9\geq 0[/latex]
Como y ∈ ℝ, temos que:
[latex](4a)^2-4\cdot 4\cdot 9 \leq 0[/latex]
[latex]16\cdot a^2\leq 16\cdot 9\Rightarrow a^2\leq 9[/latex]
[latex]a^2\leq 9\Rightarrow a\: \epsilon \left [ -3,3 \right ][/latex]
Lucius Draco- Jedi
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