Derivação implícita

por guigodss Seg 28 Dez 2015, 19:23

A Equação de van der Waals para n mols de um gás é:
Derivação implícita I1jpq70

onde P é a pressão, V é o volume e T é a temperatura do gás. A constante R é a constante de gás universal e a e b são constantes positivas que são características de um gás em particular. Se T permanece constante, use a derivação implícita para encontrar dV/dP.

por **Robson Jr.** Ter 29 Dez 2015, 11:59

Expandindo o produto, temos:

$\small PV-Pnb+\frac{n^2a}{V}-\frac{n^3ab}{V^2}=nRT$

Os membros esquerdo e direito são sempre iguais, logo suas derivadas em relação ao volume também serão. Como n, R e T são constantes:

$\small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} P}\left ( PV-Pnb+\frac{n^2a}{V}-\frac{n^3ab}{V^2} \right )=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} P}\left ( nRT \right ) \\ \therefore \ \ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} P}\left ( PV-Pnb+\frac{n^2a}{V}-\frac{n^3ab}{V^2} \right )=0 \\ \therefore \ \ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} P}(PV)-nb\frac{\mathrm{d}P }{\mathrm{d} P}+n^2a\frac{\mathrm{d}(V^{-1}) }{\mathrm{d} P} - n^3ab\frac{\mathrm{d}(V^{-2}) }{\mathrm{d} P}=0 \\\\ \therefore \ \ \frac{\mathrm{d}P }{\mathrm{d} P}V+P\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} P}-nb\frac{\mathrm{d}P }{\mathrm{d} P}+n^2a\frac{\mathrm{d}(V^{-1}) }{\mathrm{d} P} - n^3ab\frac{\mathrm{d}(V^{-2}) }{\mathrm{d} P}=0 \\\\ \therefore \ \ V-nb+P\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} P}+n^2a\frac{\mathrm{d}(V^{-1}) }{\mathrm{d} P}-n^3ab\frac{\mathrm{d}(V^{-2}) }{\mathrm{d} P}=0$

Mas, pela regra da cadeia:

$\small \\ \frac{\mathrm{d} (V^{-1})}{\mathrm{d} P}=(-V^{-2})\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} P} \\\\ \frac{\mathrm{d} (V^{-2})}{\mathrm{d} P}=(-2V^{-3})\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} P}$

Portanto:

$\small V-nb+P\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} P}+n^2a\frac{\mathrm{d}(V^{-1}) }{\mathrm{d} P}-n^3ab\frac{\mathrm{d}(V^{-2}) }{\mathrm{d} P}=0 \\\\ \therefore \ \ V-nb+P\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} P}-n^2aV^{-2}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} P}+2n^3abV^{-3}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} P}=0 \\\\ \therefore \ \ V-nb+\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} P}\left ( P-\frac{n^2a}{V^2}+\frac{2n^3ab}{V^3} \right )=0 \\\\ \therefore \ \ \boxed{\frac{\mathrm{d}V }{\mathrm{d} P}=\frac{V-nb}{-P+\frac{n^2a}{V^2}-\frac{2n^3ab}{V^3}}}$

Obs.: Poderíamos ter evitado completamente a aplicação da regra da cadeia se tomássemos dP/dV no início e simplesmente invertêssemos a razão no fim.

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