A aritmética vem em socorro!

Relembrando a primeira mensagem :

Qual é o algarismo da casa das dezenas de 576^7291 ?

É público e notório que o produto de dois números terminados em 5 é um terceiro número terminado em 5. O mesmo aconte com números terminados em 6 e em 1.

Será que existem outros números com a mesma propriedade?
Vamos experimentar números terminados em 76:

Sejam M76 e N76 dois números em que M e N podem ter quantidades quaisquer de algarismos:

M76 = 10*M + 76
N76 = 10*N + 76

(M76)*(N76) = (10*M + 76)*(10*N + 76)

(M76)*(N76) = 100*M*N + 760*M + 760*N + 76²

(M76)*(N76) = 100*M*N + 760*M + 760*N + 5776

(M76)*(N76) = 100*M*N + 760*M + 760*N + 5700 + 76

(M76)*(N76) = 10*(M*N + 76*M + 76*N + 570) + 76

(M76)*(N76) = X76 ----> Demonstrado!!!

E as curiosidades não param por aí. Pelo mesmo processo pode-se provar que o mesmo acontece com números terminados em 376, 9 376, 09 376, 109 376, 7 109 376, .........
E esta sequência de algarismos à esquerda pode continuar até o infinito.

Se não bastasse isto, o mesmo acontece com os números terminados em:

25, 625, 0 625, 90 625, 890 625, 2 890 625 ...................................

E finalmente a conclusão espantosa:

Fazendo a quantidade de algarismos à esquerda tender para infinito, estes dois números infinitos satisfazem a equação x² = x.

Isto significa que a equação x² = x, além das raízes x = 0 e x = 1, tem duas raízes infinitas, a saber x = ........ 7 109 376 e x = ...... 2 890 625