Quantidade de números inteiros

por Bruno Barreto Sáb 27 Nov 2010, 13:34

(UFC-CE) A quantidade de números inteiros positivos de 8 algarismos ,formados somente pelos alarismos 1,2 e 3 ,nos quais cada um desses algarismos aparece pelo menos uma vez,é :
$a)3^{8}+3*2^{8}$
$b)3^{8}-3*2^{8}$
$c)3^{8}+3*2^{8}-3$
$d)3^{8}+3*2^{8}+3$
$e)3^{8}-3*2^{8}+3$ --------- Gabarito

por Paulo Testoni Sáb 07 maio 2011, 22:57

Hola Bruno Barreto.

Total de aparições: Temos 8 celas e três números, a saber:

_3_ _3_ _3_ _3_ _3_ _3_ _3_ _3_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos:

3*3*3*3*3*3*3*3 = 3^8

Total em que só o 1 e o 2 aparecem: Temos 8 celas e dois números, a saber:

_2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8

Total em que só o 1 e o 3 aparecem: Temos 8 celas e dois números, a saber:

_2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8

Total em que só o 2 e o 3 aparecem: Temos 8 celas e dois números, a saber:

_2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8

Total em que só o número 1 aparece: 11111111 ==> só uma vez
Total em que só o número 2 aparece: 22222222 ==> só uma vez
Total em que só o número 3 aparece: 33333333 ==> só uma vez, portanto:

3^8 - 2^8 + 2^8 + 2^8 + 1 + 1 + 1
3^8 - 3*2^8 + 3

por Danielpg Ter 21 Fev 2012, 01:27

ola Bruno Barreto.

Total de aparições: Temos 8 celas e três números, a saber:

_3_ _3_ _3_ _3_ _3_ _3_ _3_ _3_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos:

3*3*3*3*3*3*3*3 = 3^8

Total em que só o 1 e o 2 aparecem: Temos 8 celas e dois números, a saber:

_2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8

Total em que só o 1 e o 3 aparecem: Temos 8 celas e dois números, a saber:

_2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8

Total em que só o 2 e o 3 aparecem: Temos 8 celas e dois números, a saber:

_2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_ _2_, pelo Príncipio Multiplicativo, temos: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8

As possibilidades de somente o número 1, ou 2, ou 3, formar o número de 8 algarismos já sao subtraidas com as possibilades de apenas 2 numeros. Por tanto:

3^8 - 2^8 + 2^8 + 2^8
3^8 - 3*2^8

por Gavrilo Ter 21 Fev 2012, 11:32

Danielpg, note que os números 11111111, 22222222 e 33333333 foram contados duas vezes cada. Por exemplo, o 11111111 aparece tanto no caso em que só 1 e o 2 aparecem e em que só o 1 e o 3 aparecem. Por isso você subtrai por 3, chegando ao resultado do gabarito.

Na verdade seria melhor dizer "total em que o 3 não aparece", "total em que o 2 não aparece" e "total em que o 1 não aparece", que foi o que o Paulo Testoni fez. Isso tira o perigo de uma interpretação equivocada.