Determine os pontos críticos

Utilizando a derivada, determine os pontos críticos de f(x) = x³ - 3x² + 3x, explicando o que significa cada ponto.

Então, acabei emperrando nessa parte:

Primeiramente tirei a derivada: f'(x) = 3x² - 6x + 3.
Entendo que quando está no ponto crítico, a derivada é zero.
Tirei as raízes: x' = 1 e x'' = 1, logo x' = x'' = 1.

Não consigo achar o ponto máximo e mínimo, não sei como desenvolver esse caso. A partir disso, tentei tirar a derivada de ordem 2.

f''(x) = 6x - 6 >> 6x = 6 >> x = 1. Nesse caso, eu descobri que o ponto de inflexão é igual a 1. Já que se traçarmos o gráfico a gente verifica que muda de sinal, mas continuo sem saber quais são os pontos de máximo e minimo.

Então se alguém puder me ensinar a achar o ponto máximo e mínimo, ficaria muito grato! 

Boa Tarde!   :face:

A função não tem máximos ou mínimos. f'(x)=0 conduz a um único ponto que é de inflexão.

Muito Obrigado Euclides, se for possível, poderia me confirmar se a minha conclusão sobre o ponto de inflexão está correta? Pois sua resposta foi muito valiosa para mim, já que meu professor conserva a parte conceitual e aliás, considera ela tão importante quanto ao próprio cálculo numérico.

Quando f''(x) > 0 o ponto é de mínimo, quando f''(x) < 0 o ponto é de máximo, se f''(x)=0 é ponto de inflexão.

A função

Perfeito! Sua solução esclareceu minha dúvida e consegui terminar a lista de exercícios inclusive. Muito obrigado, tenha uma ótima noite!