O problema do muro

Olá
Não estou conseguindo resolver esse problema

Um lote retangular da prefeitura municipal precisa ser murado. A secretaria de obras contratou duas turmas de trabalhadores, cada uma será responsável pela metade do perímetro do terreno. Uma turma vai receber R$ 12,00 por metro linear de muro e a outra R$ 15,00. O orçamento previsto de mão de obra para o serviso é de R$ 2430,00. Pede-se:
a) construir uma função de correspondencia entre a área e o lado menor do terreno.
b) determinar o domínio e a imagem dessa função

Grato pela ajuda

Seja x o lado menor e y o maior

Área do terreno ----> S = x*y ----> y = S/x ----> (I)

(x + y)*12,00 + (x + y)*15 = 2.430,00 ---> (x + y)*(12,00 + 15,00) = 2.430,00 ---> (x + y)*27,00 = 2.430,00

x + y = 90 ----> y = 90 - x ----> (II)

I = II ----> S/x = 90 - x -----> S = - x² + 90*x -----> Parábola com a concavidade voltada para baixo (a = -1)

Raízes da função ----> x = 0 e x = 90 ----> xV = 45 ----> Sv = 2025

Domínio ----> 0 < x < 90

Imagem ----> 0 < S < 2025

Elcioschin escreveu:Seja x o lado menor e y o maior

Área do terreno ----> S = x*y ----> y = S/x ----> (I)

(x + y)*12,00 + (x + y)*15 = 2.430,00 ---> (x + y)*(12,00 + 15,00) = 2.430,00 ---> (x + y)*27,00 = 2.430,00

x + y = 90 ----> y = 90 - x ----> (II)

I = II ----> S/x = 90 - x -----> S = - x² + 90*x -----> Parábola com a concavidade voltada para baixo (a = -1)

Raízes da função ----> x = 0 e x = 90 ----> xV = 45 ----> Sv = 2025

Domínio ----> 0 < x < 90


Imagem ----> 0 < S < 2025

Ola, copiei a resolução deste exercicio e levei para a professora do cursinho que frequento ela disse que esta errado.Eis as colocações dela: como encontrou as raízes?

como encontrou as coordenadas do vértice!?

podemos ter x negativo? e x maior que 90?

podemos ter área negativa?
Podem me ajudar a esclarecer? E ainda como ficaria o grafico dessa função?

Oi maezona,

há algo errado com sua professora, no mínimo ela não se deu o trabalho de olhar direito. A solução do mestre Elcio está (como de costume) correta.

1) cada turma constroi a mesma metragem, digamos k metros que corresponde ao semi perímetro



O domínio da função não tem restrições matemáticas, mas tem restrições físicas, ou seja deve corresponder ao tamanho do terreno .

A imagem da função só pode contemplar valores positivos (é uma área)

"Ola, copiei a resolução deste exercicio e levei para a professora do cursinho que frequento ela disse que esta errado."

Caramba, essa sua professora não deve saber com quem está falando mesmo hehehhe.
Se o Élcio errar é por simples e mera falta de atenção, o que dúvido muito acontecer.
Garanto que o Élcio dá uma aula para sua professora. heehhe

luiseduardo escreveu:"Ola, copiei a resolução deste exercicio e levei para a professora do cursinho que frequento ela disse que esta errado."

Caramba, essa sua professora não deve saber com quem está falando mesmo hehehhe.
Se o Élcio errar é por simples e mera falta de atenção, o que dúvido muito acontecer.
Garanto que o Élcio dá uma aula para sua professora. heehhe

Tambem acredito que sim. Ela é gente boa mas bem devagar. Estou adorando fazer parte desse forum, voces estão de parabens! E quanto ao grafico da função do exercicio, tem condições de fazer e me enviar?

Acho que irá ficar assim:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+-+x%C2%B2+%2B+90%2Ax+

É um gráfico com valores de escala muito amplos. Um esbôço está abaixo

Maezona

Não vamos constranger a professora: seres humanos erram por vários motivos.
Acho que o mais correto é responder as perguntas da sua professora e tentar esclarecer.

Função área ----> S = - x² + 90*x

Podemos escrever na forma fatorada ----> S = x*(90 - x)

Veja que no lugar de S poderíamos ter escrito A ou y ou f(x)

1) Como se descobriu as raízes?

Resposta: Neste problema, a resposta é uma "mamata": dá para descobrir sem fazer contas ou usar quaisquer fórmulas. Como o 2º membro está fatorado, ele só pode ser nulo se qualquer dos 2 fatores o for, logo as raízes são: x = 0 e x = 90

Por aí você já tira uma conclusão: o domínio da função deve estar entre as duas raízes, já que a área deve ser positiva.

2) Como descobriu as coordenadas do vértice?

Esta é mais fácil ainda: Considerando que a parábola é uma curva simétrica em relação ao eixo de simetria, fica evidente que a abcissa do vértice fica EXATAMENTE entre as duas raízes. Entre x = 0 e x = 90, onde você acha que fica o meio ?

Para descobrir a ordenada do vértice basta fazer xV = 45:

yV = x*(90 - x) ----> yV = 45*45 ----> yV = 2025

3) Para as demais perguntas as respostas estão dadas na minha solução original: basta ver o domínio e a imagem.

De qualquer modo, caso ela insista em achar que está errado, peça a ela para mostrar qual é a solução certa. Pode ser que todos os usários que comentaram, eu entre eles, não tenham entendido o enunciado, ou que o enunciado tenha algum erro ou que o enunciado dê margem a mais de uma interpretação.

Uma curiosidade que eu esquecí de comentar:

Para x = 45 ----> y = 45 ----> O terreno é um quadrado.

Logo, existe uma "falha" no enunciado ao mencionar o lado "menor" do terreno.


Luis

Tomei a liberdade de excluir os seus gráficos que ficaram com uma escala pouco adequada. O objetivo foi reduzir o conteúdo do tópico, já que outro gráfico seu e o do Euclides atendiam perfeitamente.

Elcio