Dúvida em Resolução

por **Adam Zunoeta** Ter 23 Nov 2010, 21:38

Num triângulo retângulo, "a" é a medida da hipotenusa, "b" e "c" as dos catetos. Constroem-se os semicírculos de diâmetros "b" e "c" externos ao triângulo,e o semicírculo de diâmetro "a" circunscrito ao triângulo. As regiões dos dois primeiros semicírculos externos à terceira são chamados "lunulas de Hipócrates". Mostre que a soma das áreas das lúnulas é igual à área do triângulo.

Resolução:
Dúvida em Resolução Figura0

Eu não entendi a resolução alguém poderia me ajudar?

por **Elcioschin** Ter 23 Nov 2010, 21:59

Balanar

Para mim a solução é auto-explicativa.

A área da figura TODA pode ser calculada de dois modos:

1) Somando as duas lúnulas com o semicírculo CAB (o diâmetro dele é a hipotenusa): L1 + L2 + pi*a²/4

2) Somando a área do triângulo mais os semi-círculos de diâmetros b e c: T + pi*b²/4 + pi*c²/4

Depois é só igualar a sduas expressões e simplificar, lembrando que a² = b² + c²

Que parte você não entendeu?

por **Adam Zunoeta** Ter 23 Nov 2010, 22:33

Eu tava fazendo o diâmetro como raio........
auhsddada... falta de atenção²
Vlw Elcioschin.
Very Happy

por **Adam Zunoeta** Ter 23 Nov 2010, 23:03

A área de um círculo é:

$S=\pi r^2$

Como temos um semicírculo vem:

$S=\frac {\pi r^2}{2}$

Como o diâmetro é "a" então:

$S=\frac {\pi a^2}{2.4}$

$S=\frac {\pi r^2}{8}$

Porque dá :
$S=\frac {\pi a^2}{4}$

por jvfreitas Ter 23 Nov 2010, 23:53

Vai acabar cortando depois... Mas repare que a equação dele está errada, tanto a segunda quando aquela em que ele iguala as fórmulas... No caso seria:

[;S=L1+L2+\frac{\pi a^{2}}{8};]
[;S=T+\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi c^{2}}{8};]
Igualando você terá:
[;\L1+L2+\frac{\pi a^{2}}{8}=T+\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi c^{2}}{8};]
Repare que:
[;\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi c^{2}}{8}=\frac{\pi a^{2}}{8};]
Sendo assim:
[;\L1+L2+\frac{\pi a^{2}}{8}=T+\frac{\pi a^{2}}{8};]
Concluindo o que o exercicio pede:
[;\L1+L2+=T;]

por **Adam Zunoeta** Qua 24 Nov 2010, 00:09

Resolução bem detalhada:

Clique aqui

por **Euclides** Qua 24 Nov 2010, 00:11

jvfreitas escreveu:Vai acabar cortando depois... Mas repare que a equação dele está errada, tanto a segunda quando aquela em que ele iguala as fórmulas... No caso seria:

[;S=L1+L2+\frac{\pi a^{2}}{8};]
[;S=T+\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi c^{2}}{8};]
Igualando você terá:
[;\L1+L2+\frac{\pi a^{2}}{8}=T+\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi c^{2}}{8};]
Repare que:
[;\frac{\pi b^{2}}{8}+\frac{\pi c^{2}}{8}=\frac{\pi a^{2}}{8};]
Sendo assim:
[;\L1+L2+\frac{\pi a^{2}}{8}=T+\frac{\pi a^{2}}{8};]
Concluindo o que o exercicio pede:
[;\L1+L2+=T;]

o LaTeX no fórum só pode ser implementado a partir do código gerado pelo Editor LaTeX. Veja o alto da página.

Código:: <img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\pi a^{2}}{8}" title="\frac{\pi a^{2}}{8}" />

Imagem
$\frac{\pi a^{2}}{8}$

por **adriano tavares** Qua 24 Nov 2010, 00:47

Olá, Balanar.

Essa forma de resolução é bem simples.

Eu vou postar a resolução de outra maneira, que talvez você possa entender melhor.

Dúvida em Resolução Lnulas

Primeiro vamos calcular a soma das áreas A e B.

$(A+B)=\frac{\pi a^2}{8}-T$

Agora vamos calcular a área das duas lúnulas.

$L_1=\frac{\pi b^2}{8}-A\\\\L_2=\frac{\pi c^2}{8}-B$

Vamos somar L_1 e L_2.

$L_1+L_2=\frac{\pi b^2}{8}+\frac{\pi c^2}{8}-(A+B)$

Calculando (A+B).

$(A+B)=\frac{\pi a^2}{8}-T$

Substituindo o valor de (A+B) teremos:

$L_1+L_2=\frac{\pi}{8}(b^2+c^2)-\left(\frac{\pi a^2}{8}-T \right )$

$L_1+L_2=\frac{\pi}{8}a^2-\frac{\pi a^2}{8}+T \\\\L_1+L_2=T$

Apesar da formula da área do semi-círculo está errada,o resultado dá certo porque esses termos iram se cancelar.