Análise Combinatória -

Para uma aula do conteúdo de contagem, a professora levará 120 balas idênticas e irá colocá-las em saquinhos numerados de 1 a 5, de modo que nenhum saquinho fique vazio.
A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas que isso pode ser feito é:

O gabarito é 119! / 115! x 4!
Eu não consegui entender como surgiu essa combinação de 119, 5 a 5. Em mais de um gabarito na internet divulga assim, mas não consegui chegar nesse raciocínio.

Se alguém puder me ajudar, agradeço bastante.

S1 - S2 - S3 - S4 - S5
.1.....1.....1.....1....116
.1.....1.....1.....2....115
.1.....1.....1.....3....114
................................
.1.....1.....1...116....1

E assim por diante.

Vamos considerar a soma das 4 colunas, com exceção da vermelha

A contagem das 4 colunas na 1ª linha é 119, na 2ª linha é 118, na 3ª linha é 117, etc.

Isto significa que a contagem não começa em 120 e sim em 119

A partir dai basta fazer a combinação de 119 termos, tomados 4 a 4 ---> C(119, 4)

n = C(119, 4) ---> n = 119!/(119 - 4)!.4! ---> n = 119!/115!.4!

Professor, eu fiquei confuso. O senhor comentou que todas as linhas, quando somava as 4 colunas com exceção da vermelha (S4), o total resultava em 119. No entanto, por exemplo, já na segunda linha temos 1 + 1 + 1 + 115 = 118.

Além disso, eu não entendi como isso anularia uma possibilidade e faria com que fosse necessário apenas a combinação 4 a 4. 

Do que eu entendi, o senhor tentou delimitar em cada linha como se eu determinasse o menor número possível para que todos os sacos tivessem pelo menos uma bala e aí a compensação seria entre os sacos S4 e S5. Mas daí em diante, eu não consegui entender o raciocínio desenvolvido.
Agradeço desde já a ajuda.

Eu me expressei mal. Vou editar minha mensagemoriginal para ficar mais claro.

A contagem das 4 colunas na 1ª linha é 119, na 2ª linha é 118, na 3ª linha é 117, etc

Isto significa que a contagem não começa em 120 e sim em 119

A partir dai basta fazer a combinação de 119 termos, tomados 4 a 4 ---> C(119, 4)