expressão trigonométrica

por jobaalbuquerque Seg 02 Nov 2015, 15:29

sendo cos(a + x)cos(a - x) - sen(a +x)sen(a- x) = 7/25, e 'a' pertencente a ]pi, 3pi/2[, calcule tg(a)/2

resposta: -3

na minha resolução eu termino em: 2(cos2a) = 7/25
na resolução que eu achei, e esta é correta apenas o cos2a apareceu, como?
desde já agradeço.

por PedroCunha Seg 02 Nov 2015, 15:49

Olá, amigo.

Lembrando que \\ cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b , temos:

\\ \cos(a+x) \cdot \cos(a-x) - \sin(a+x) \cdot \sin(a-x) = \frac{7}{25} \therefore \\\\ \cos(a+x+a-x) = \frac{7}{25} \Leftrightarrow \cos(2a) = \frac{7}{25} .

Uma fórmula interessante: \\ \tan \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{ \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} .

Como a \in \left ]\pi, \frac{3\pi}{2} \right[ \Leftrightarrow \frac{a}{2} \in \left ] \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} \right[ , \tan \left( \frac{a}{2} \right) < 0 .

Vamos encontrar \\ \cos a :

\\ \cos(2a) = 2\cos^2a - 1 \therefore \frac{7}{25} = 2\cos^2{a} - 1 \therefore \frac{16}{25} = \cos^2{a}\\\\ \Leftrightarrow \cos a = -\frac{4}{5}, \,\, \text{ pois } a \in \left ]\pi, \frac{3\pi}{2} \right[ .

Então:

\\ \tan \left( \frac{a}{2} \right) = - \sqrt{ \frac{1 + \frac{4}{5}}{1 - \frac{4}{5}} } = -\sqrt{ \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} } = -3 .

Att.,
Pedro