Inequação Logarítmica

por reinserkmo Qua 15 Out 2014, 19:46

Estou tendo problemas nesta questão:

Resolva a Inequação em R

(4x)log base 5 (x+3) >= (x²+3)log base 1/5 (x+3)

Obrigado.

por PedroCunha Qui 16 Out 2014, 08:14

Olá.

\\ 4x \cdot \log_5 (x+3) \geq (x^2+3) \cdot \log_{\frac{1}{5}} (x+3) \\\\ \circ \log_\frac{1}{5} (x+3) = \frac{\log_5 (x+3)}{\log_5 \frac{1}{5}} = -\log_5 (x+3) \\\\ 4x \cdot \log_5 (x+3) \geq -(x^2+3) \cdot \log_5 (x+3) \therefore \log_5 (x+3) \cdot (x^2+4x+3) \geq 0 \\\\ \log_5 (x+3) \geq 0, C.E.: x > -3: x+3 \geq 1 \therefore x \geq -2 \\\\ x^2+4x+3 \geq 0: \rightarrow \cancel{x \leq -3} \text{ ou } x \geq - 1 \\\\ \boxed{\boxed{ S \{ x \in \mathbb{R} | -3 < x \leq - 2 \text{ ou } x \geq -1 \} }}

Att.,
Pedro

por reinserkmo Qui 16 Out 2014, 17:57

Caro Pedro, Na minha resolução ficou faltando a parte do x>=-2,poderia me explicar porque o x+3 tem que ser maior ou igual a 1?.

Obrigado

por PedroCunha Qui 16 Out 2014, 18:56

Olá.

É sabido que \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c .

Assim, se \\ \log_5 (x+3) \geq 0 \Leftrightarrow x+3 \geq 5^0 \therefore x \geq -2

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** Qui 16 Out 2014, 19:35

Pedro

Existe uma contradição no seu resultado

1) Pela condição de existência ----> x >= - 2

2) Pela sua solução - 3 =< x =< -2

Portanto parece-me que a resposta seria apenas x >= - 1

por PedroCunha Qui 16 Out 2014, 20:04

Élcio, a condição de existência é apenas x >= -3 e não x >= -2. Reveja minha resposta.

por **Elcioschin** Qui 16 Out 2014, 22:45

Quando eu escrevi "Pela condição de existência", deveria ter escrito "Na 4ª linha da condição de existência"

log₅[(x - 3).(x² + 4x + 3)] >= 0

log₅[(x - 3).(x² + 4x + 3) >= log₅(1)

(x - 3).(x² + 4x + 3) >= 1 ---> Você não pode escrever x - 3 >= 1 ---> x >= - 2

(x - 3).(x² + 4x + 3) - 1 >= 0

Esta é a equação a ser resolvida

por PedroCunha Qui 16 Out 2014, 22:51

Élcio, não consigo entender o que você está falando.

Veja bem, você colocou log₅[(x - 3).(x² + 4x + 3)] >= 0, que é diferente do que eu coloquei. Na minha resolução, temos log₅(x-3) * (x²+4x+3) >= 0

Ou seja, o logaritmo e uma equação normal. O logaritmo não está em toda a expressão.

por Convidado Sex 17 Out 2014, 14:08

Primeiro vamos chamar o Log de (x+3) na base 5 de y !
4x . y > (x^2 + 3) . y/ -1 no y/-1 realizamos a mudaça de base

4xy > ( x^2 + 3 ) . (-y)
4xy = -yx^2 - 3y

como y na segunda parte depois da desigualdade é um fator comum,vamos fatorar.

4xy > y ( -x^2 - 3)

cortando Y em ambos lados da desigualdade.

4x > -x^2 - 3

x^2 + 4x + 3 > 0
a = 1 b = 4 c = 3

realizando a equação de segundo grau encontramos as raízes -1 e -3

Para isso ocorrer x >= -3
e x <= -1

espero ter ajudado!