Inequação logarítmica

O conjunto solução da inequação 1/log2(x) - 1/[log2(x) - 1] < 1


Resp: (0; 1) U (2; +∞)

Fiz os cálculos substituindo log2(x) por y e a parte de cima da inequação dava um delta menor que 0...No quadro dos sinais, como a parte de cima x ∉ R, não haveria conjunto verdade na inequação:

-y² + y - 1/[y² - y] < 0

Alguém pode me explicar o que fiz de errado?

Olá guilherme,

temos:

-y² + y - 1
------------ < 0
[y² - y]

- o numerador representa uma parábola que não possui raízes reais e que tem concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de y² é negativo, isto significa que a função é sempre negativa.

- o numerador y² - y = 0 -> y*( y - 1 ) = 0 -> raízes: y = 0 ou y = 1 representa uma parábola com concavidade voltada para cima.

para y = 0 -> log2 (x) = 0 -> x = 1

para y = 1 -> log2 (x) = 2 -> x = 2

temos também que x > 0

Assim:

.................................0.....................1.......................2
------------------------o---------------o----------------o-------------------
- y² + y - 1..... - .........|......... - .........|.......... - ..........|...... -
--------------------------------------------------------------------------
y² - y.........................|......... +..........|.......... - ..........|....... +
----------------------------------------------------------------------------
(-y²+y-1)/(y²-y)..........|......... - .........|.......... + ..........|........ -
---------------------------------------------------------------------------

S = ( 0, 1 ) U ( 2, +օօ ) -> que não bate com o gabarito apresentado, embora o mesmo esteja meio confuso com relação ao segundo intervalo. Por gentileza confira o gabarito.

Jose Carlos escreveu:Olá guilherme,

temos:
.

Na verdade eu que acabei colocando um zero no lugar do +∞..Já editei.

Obridado pela explicação!