[Nv: Médio] Inequação Algébrica (FME-01 1985 A.396)

Resposta: 

Eu tentei resolver partindo do fato de que: 

mas algo deu errado quando fui fazer "f(x) > g(x)"

[latex]\\\mathrm{C.E.: x\geq -3\ (i)\ \wedge\ x\geq -4\ (ii)\ \wedge\ 2-\sqrt{x+3}\geq 0\leftrightarrow -3\leq x\leq 1\ (iii)}\\\\ \mathrm{Assim:\ (i)\ \cap\ \(ii)\ \cap\ (iii)\to -3\leq x\leq 1\ (iv)\to Aqui\ acho\ que\ foi\ o\ seu\ erro}\\\\ \mathrm{\sqrt{2-\sqrt{x+3}} < \sqrt{x+4}\to 2-\sqrt{x+3} < x+4\to x > \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\ (v)}\\\\ \mathrm{De\ (iv)\ \cap\ (v)\to \left ]\frac{-3-\sqrt{5}}{2},1 \right ]\to Penso\ que\ seja\ isto!}[/latex]

Fiz um ligeiro ajuste na resolução.

pois é onde ela é maior que zero > 0

Mais tarde venho aqui. Peço só um pouquinho de paciência.

LinkGyn12 escreveu:

Giovana Martins escreveu:

[latex]\\\mathrm{C.E.: x\geq -3\ (i)\ \wedge\ x\geq -4\ (ii)\ \wedge\ 2-\sqrt{x+3}\geq 0\leftrightarrow -3\leq x\leq 1\ (iii)}\\\\ \mathrm{Assim:\ (i)\ \cap\ \(ii)\ \cap\ (iii)\to -3\leq x\leq 1\ (iv)\to Aqui\ acho\ que\ foi\ o\ seu\ erro}\\\\ \mathrm{\sqrt{2-\sqrt{x+3}} < \sqrt{x+4}\to 2-\sqrt{x+3} < x+4\to x > \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\ (v)}\\\\ \mathrm{De\ (iv)\ \cap\ (v)\to \left ]\frac{-3-\sqrt{5}}{2},1 \right ]\to Penso\ que\ seja\ isto!}[/latex]

Olá, perdão, a parte que eu não entendi foi na intersecção de II:  [latex] \mathrm{\ 2-\sqrt{x+3} < x+4\to x > \frac{-3-\sqrt{5}}{2}\ }\\\\ \mathrm\\\\ [/latex]


pois: [latex]\begin{align*} 4 + x &> 2 - \sqrt{3+x} \\ (2+x)^2 &> (-\sqrt{3+x})^2 \\ x^2 + 4x + 4 &> 3 + x \\ \end{align*} [/latex]


[latex]\text{Sistema 1:} \\ \left\{ \begin{array}{l} 3 + x \geq 0 \\ x^2 + 3x + 1 > 0 \\ \end{array} \right. [/latex]



Esse: [latex] 3 + x \geq 0 \\ [/latex] coloquei por achar necessário na intersecção, pois ele saiu da raiz
e sobre a inequação quadrática, vejo que: 
[latex]\text{Sistema 2:} \\ \left\{ \begin{array}{l} x \geq -3 \\ -\frac{3 - \sqrt{5}}{2} > x \\ x > -\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right. [/latex]

pois é onde ela é maior que zero > 0

Quanto a sua dúvida, vamos por partes: em questões de inequações racionais há meio que uma "receita de bolo" a ser seguida. São dois problemas em um: primeiro você deve garantir a existência das raízes de forma individual e em segundo você deve garantir a existência da inequação.

Primeiramente, você deve definir as condições de existência de cada raiz, que foi o que eu fiz em (i), (ii) e (iii). As condições de existência para as raízes devem satisfazer todas as raízes. De nada adianta eu garantir os valores de x que satisfazem uma raiz se esses valores de x não satisfazerem as demais raízes. Aqui reside o motivo pelo qual eu faço as interseções (i), (ii) e (iii). Note que a raiz de x + 3 é definida para x maior ou igual a - 3, porém, para valores entre - 4 e - 3 esta mesma raiz já não é definida, embora a raiz de x + 4 seja definida para todo x maior ou igual a - 4. Nota-se aqui, de forma mais clara, por exemplo, o porquê da intersecção (i), (ii) e (iii), pois a partir dela eu garanto a existência de todas as raízes.

Agora, vamos à inequação: eu resolvi de um jeito não muito trivial, pois embora eu tenha recaído em uma inequação do segundo grau ao longo dos cálculos, eu a resolvi de forma gráfica tomando como funções f(x) = 2 - √(x+3) e g(x) = x + 4, o que tornou a minha solução nebulosa.



A abscissa do ponto A é exatamente o (- 3 - √5)/2. Note que para qualquer valor de x tal que x < (- 3 - √5)/2 tem-se que f(x) = 2 - √(x+3) < g(x) = x + 4, pois a curva verde (f(x)) está sempre abaixo da curva vermelha (g(x)). Aqui surge o x > (- 3 - √5)/2, pois a questão quer exatamente o intervalo de valores para os quais tem-se f(x) = 2 - √(x+3) < g(x) = x + 4. Aqui também surge a complicação da minha resolução, pois o mais natural era desenvolver a inequação do segundo grau e resolver o problema como se estivéssemos lidando com uma inequação do segundo grau. Isso é o que eu vou fazer agora.

[latex]\\\mathrm{ 2 - \sqrt{x+3} < x + 4 \to ( - x - 2 ) < \sqrt{x+3}\to ( - x - 2 ) ^ 2 < x + 3}\\\\ \mathrm{x^2 + 4x + 4 < x+3 \to x^2+3x+1 < 0\ \therefore\ \frac{-3-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{\sqrt{5}-3}{2}\ (v)}\\\\ \mathrm{De\ (iv)\ e\ (v),isto\ \acute{e},[-3,1]\ \cap\ \left ] \frac{-3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}-3}{2} \right [\to S=\left ] \frac{-3-\sqrt{5}}{2},1 \right ]}[/latex]

Agora, por que eu faço a intersecção de (iv) e (v)? A gente sabe que (v) é o conjunto de valores que satisfazem somente a inequação, porém, a inequação só existe se as raízes existirem e, para as raízes existirem, x deve ser maior ou igual a - 3 e menor ou igual a 1 conforme (iv). Uma coisa condiciona a outra. Como a condição para que a inequação exista as raízes iniciais devem existir, logo, ao final da resolução eu faço a intersecção.

Bom, a ideia é essa. Caso eu não tenha respondido exatamente ao que você esperava, me avise que tento melhorar a resposta.

Eu corrigi isso na minha folha, mas mesmo assim tá dando problema com interseção, eu não sei se eu tô deixando de enxergar algo, eu realmente não faço ideia, mas provavelmente é algo muito simples, porém eu tô cego

Boa noite, link. Hoje eu estou um pouquinho atarefada. Acredito que até amanhã consigo responder ao que você perguntou.

Tenha uma boa noite.

Poxa, falei um monte, mas tem uma falha lógica na minha solução. A minha primeira resolução está certa, mas a segunda está errada. Peço sinceras desculpas. 

Vamos lá, pois agora eu acho que não vou errar:

Por que que eu acertei na primeira resolução e na segunda não? Faz um bom tempo que eu não estudo inequações racionais, mas eu lembro que quando eu estudava esse assunto, no geral, eu resolvia a questão de forma gráfica, que foi a forma que eu fiz no primeiro post (de forma automática), justamente porque resolver essas inequações igual eu fiz na segunda resolução, isto é, de forma analítica, às vezes eu incorria em alguns erros enquanto eu estudava.

As suas contas estão corretas, porém, aquele intervalo em II que você indicou é válido para x² + 3x + 1 < 0, mas não é válido para x + 4 > 2 - √(x+3) que é a inequação original, isto é, x + 4 > 2 - √(x+3) é a inequação a partir da qual você chega em x² + 3x + 1 < 0.

Note pelo gráfico que eu postei que x + 4 > 2 - √(x+3) para todo x > (- 3 - √5)/2, isto é, do ponto A(- 2.62, 1.38) em diante. Não faz sentido dizer que x + 4 > 2 - √(x+3) somente para (- 3 - √5)/2 < x < (- 3 + √5)/2.

Para resolver tal como eu fiz no primeiro post, eu somente fiz um esboço simples do gráfico (igual ao que eu postei) após estabelecer a condição de existência (- 3 ≤ x ≤ 1). Achei as raízes da equação x + 4 = 2 - √(x+3) e do esboço vi que para x > (- 3 - √5)/2 ter-se-ia x + 4 > 2 - √(x+3).

Por fim, apenas fiz a intersecção entre x > (- 3 - √5)/2 e - 3 ≤ x ≤ 1 e cheguei no seu gabarito.

Agora você vai me questionar como fazer do seu jeito, pois é como o FME faz (conforme você havia me dito que estava seguindo) . Não sei bem como fazer para ser sincera. Vou pensar em alguma forma de resolver a inequação sem elevar ambos os lados da igualdade ao quadrado. Se eu conseguir chegar em algo eu posto aqui.