Inequação logaritmica

O conjunto de todo os x para os quais  x. log 1/2 (x-1) < 0 é

Spoiler:

Acredito que você quis dizer:


Teremos 2 casos:

I) x < 0 e 

Porém (x-1) é o logaritmando e portanto: (x-1)>0 → x > 1 

Logo esse caso não convém.

II) x > 0 e 



x-1 > 1 → x > 2 

S = (2;∞)

Solução gráfica (para ser "enxergada"):

Desenhe num sistema xOy as funções multiplicadas do 1º membro:

1) y' = x ---> Bissetriz dos quadrantes ímpares, passando por (1, 1), (3/2, 3/2)

2) y = log_1/2(x - 1) ---> Restrição ---> x > 1 

Isto significa que o gráfico desta função é assintótico, pela direita, à reta x = 1

Pontos da curva:

Para x = 3/2 ---> y = log_1/2(3/2 - 1) ---> y = 1 ----> (3/2, 1)

Para x = 2 ---> y = log_1/2(2 - 1) ---> y' = 0 ---> (2, 0)

Se x tende para 1, pela direita, y tende para ∞ (curva vai se aproximar da reta x = 1)

Desenhe os dois gráficos e marque o ponto de encontro P deles (não interessa saber as coordenadas dele). O gráfico de y' = x vale somente para x > 1

Note, agora que a função y' é sempre positiva.
A função y é positiva no intervalo (1 < x < 2), nula para x = 2 e negativa para x > 2

Conclusão: o produto y'.y é negativo para x > 2